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\begin{document}




\titre{DS 1 (14/09/2013) \hfill PCSI}

Vous laisserez une marge en haut sur la première page et sur le côté gauche de votre copie pour les annotations.

\medskip

Cet énoncé comporte une partie questions de cours et 3 exercices indépendants dont la difficulté est croissante.

\medskip

\textbf{Justifiez} chaque réponse à une question : la clarté et la précision sont prises en compte dans l'évaluation.

\medskip La calculatrice est interdite.

\bigskip

Pour toutes les représentations géométriques, le plan $\mathscr P$ sera rapporté à un repère orthonormé $(0, \vec{i}, \vec{j})$ (on pourra prendre pour unité graphique, lorsque les dessins sont nécessaires, 2 cm ou quelques \og carreaux \fg).

\bigskip

\noindent 

\qcours{0}{}

\begin{enumerate}
\item Soient $A$, $B$ deux points de $\mathscr P$ d'affixe respectifs $z_A,z_B\in \mathbb C$. Donner et démontrer la formule donnant la longueur $AB = \Vert \overrightarrow{AB}\Vert$ en fonction de $z_A$ et $z_B$ et faire un dessin.
\item \'Enoncer, sans démonstration, les formules d'Euler donnant l'expression du cosinus et du sinus en fonction de l'exponentielle imaginaire.
\item Soient $a,b \in \R$. Démontrer la formule donnant $\cos a \cos b$. En déduire que $\displaystyle \cos^2 a = \frac{\cos( 2 a) +1}{2}$.
\end{enumerate}

\finenonce

\setcounter{exo}{0} 

\enonce{}{} 

On considère les points $P$ et $Q$ du plan $\mathscr P$ d'affixes respectifs $p = \sqrt{3} - i$ et $q = e^{i\textstyle{ \frac{\pi}{4}}} p$.

\begin{enumerate}
\item Exprimer $p$ sous forme trigonométrique et placer $P$ sur un dessin.
\item Exprimer $q$ sous forme trigonométrique et sous forme algébrique. Placer $Q$ sur le dessin.
\item Donner la valeur de $$ \cos^2 \frac{\pi}{12} + \sin^2 \frac{\pi}{12}.$$ 
\item \`A l'aide des questions de cours, montrer que $$\cos^2 \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \left[\cos \frac{\pi}{6} + 1\right]. $$
En déduire la valeur exacte de $\cos \displaystyle{\frac{\pi}{12}}$ et, à l'aide de la question précédente, de $\sin \displaystyle{\frac{\pi}{12}}$.
\item Si le cercle unité et les axes du repère sont tracés, expliquer brièvement comment effectuer le dessin précédent avec uniquement un compas et une règle non graduée. Le dessin est-il cohérent avec la question précédente ?
\end{enumerate}

\finenonce

\enonce{}{}
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation, d'inconnue $z \in \mathbb C$, $z^2-(1+i)z+i = 0$.
\item Soit $\theta \in \R$. On considère l'équation, d'inconnue $z \in \mathbb C$, \begin{equation}
z^2 - 2 \cos(\theta) z +1 = 0 \tag{E} \label{eq}.
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item[a.] Résoudre l'équation \eqref{eq} (on donnera les solutions sous forme exponentielle).
\item[b.] Pour quelles valeurs de $\theta$ ces solutions sont-elles réelles ?
\item[c.] Pour quelles valeurs de $\theta$ l'équation \eqref{eq} admet-elle une seule solution ?
\item[d.] En développant $(z-e^{i\theta}) (z-e^{-i\theta})$, retrouver le résultat de la question a.
\item[e.] Résoudre, en utilisant les questions précédentes, l'équation d'inconnue $z \in \mathbb C$, $z^2 + z +1 = 0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\finenonce

\newpage

\enonce{}{} Soient $A$, $B$, $C$ trois points du plan $\mathscr P$ d'affixes respectifs $z_A = -2i$, $z_B = -\sqrt{3}+i$ et $z_C = \sqrt{3} + i$.

\begin{enumerate}
\item Donner la forme exponentielle de $z_A$, $z_B$, $z_C$.
\item En déduire que $A$, $B$, $C$ sont sur un même cercle $\mathscr C$ dont on précisera le centre et le rayon.
\item Calculer les longueurs exactes $AB$, $AC$ et $BC$. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice, $A$, $B$, $C$ sont des points quelconques du cercle de centre $0$ et de rayon $1$ d'affixes respectifs $a, b, c \in \mathbb C$. On notera $j = e^{\textstyle{\frac{2i\pi}{3}}}$

\begin{enumerate}
\item[4.] Montrer que si $ABC$ est un triangle équilatéral, alors \begin{equation}
a + j b + j^2 c =0 \quad \text{ou} \quad a + j c + j^2 b =0.\tag{C} \label{cond}
\end{equation}
\item[5.] Montrer que la condition \eqref{cond} est une condition nécessaire et suffisante pour que $ABC$ soit un triangle équilatéral.
\end{enumerate}
Désormais, $A,B,C$ sont des points quelconques de $\mathscr P$ (on ne suppose plus qu'ils appartiennent au cercle unité).
\begin{enumerate}
\item[6.]  Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a,b,c$ pour que $ABC$ soit un triangle équilatéral.
\end{enumerate}

\finenonce

\end{document}

