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\begin{document}








\noindent 




\titre{DS10 \hfill PCSI}

Vous laisserez une marge en haut sur la première page et sur le côté gauche de votre copie pour les annotations.

\medskip

\textbf{Justifiez} et \textbf{rédigez} toutes vos réponses : la clarté et la précision sont prises en compte dans l'évaluation.

\medskip La calculatrice est interdite.

\medskip



\pb{0}{\textbf{1 : Fonction log intégral} (adapté de oral CCP PC)}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur quel ensemble $\ln$ est-elle continue ? Rappeler la valeur de $\ln(1)$ ainsi que le tableau de variations de~$\ln$ (on fera appara\^itre la valeur de $\ln(1)$ ainsi que le signe de $\ln x$ suivant les valeurs de $x$).
\item En déduire que $f : \displaystyle t \mapsto \frac{1}{\ln t}$ est continue sur $]0,+\infty[ \setminus \{ 1\}$ puis que $f$ admet au moins une primitive sur~$]0,1[$ et sur~$]1,+\infty[$ qu'on notera $F$.
\item Tracer le tableau des variations de $f$.
\item Justifier que $F$ est de classe $\mathscr C^1$ sur $]0,1[$ et sur $]1,+\infty[$. Que vaut $F'$ sur ces intervalles ?
\end{enumerate}

On introduit, pour $x \in ]0,+\infty[ \setminus \{ 1\}$, la fonction $$\varphi(x) = \int_x^{x^2} \frac{\dt}{\ln t}.$$

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{4}
\item Montrer que si $x \in ]1,+\infty[$, $[x,x^2]\subset ]1,+\infty[$ puis que $\varphi$ est bien définie sur $]1,+\infty[$.
\item Montrer que si $x \in ]0,1[$, $[x,x^2]\subset ]0,1[$ puis que $\varphi$ est bien définie sur $]0,1[$.
\item Justifier que pour tout $x \in ]0,+\infty[ \setminus \{ 1\}$, $\varphi(x) = F(x^2) - F(x)$ puis que $\varphi$ est dérivable sur $]0,+\infty[ \setminus \{ 1\}$.
\item Soit $x \in ]0,+\infty[ \setminus \{ 1\}$. Montrer que $$\displaystyle \varphi'(x) = \frac{2\,x}{\ln (x^2)} - \frac{1}{\ln x} = \frac{x-1}{\ln x}.$$
\item Soit $x \in ]0,1[$. En utilisant la question 3, montrer que pour tout $t \in [x,x^2]$, $\displaystyle \frac{1}{\ln x} \leq \frac{1}{\ln t} \leq \frac{1}{\ln(x^2)}$ puis que $$\int_x^{x^2} \frac{\dt}{\ln(x^2)} \leq \varphi(x) \leq \int_x^{x^2} \frac{\dt}{\ln x}.$$ On prendra garde à l'ordre des bornes.
\item En déduire que pour tout $x \in ]0,1[$, $\displaystyle \frac{x^2-x}{\ln( x^2)} \leq \varphi(x) \leq \frac{x^2-x}{\ln x}$ puis que la limite de $\varphi$ en $0^+$ est $0$.
\item Montrer que $\varphi$ admet un prolongement par continuité sur $[0,1[$ noté encore $\varphi$ (on précisera $\varphi(0)$).
\item Soit $x \in ]0,1[$. Montrer que pour tout $t \in [x,x^2]$, $\displaystyle \frac{x^2}{t\,\ln t} \geq \frac{t}{t\,\ln t} \geq \frac{x}{t\,\ln t}$.
\item En déduire l'encadrement, pour $x \in ]0,1[$ : $$x^2 \int_x^{x^2} \frac{\dt}{t\,\ln t}\leq \varphi(x) \leq x \int_x^{x^2} \frac{\dt}{t\,\ln t}.$$
\item En remarquant une forme "$u'/u$", montrer que pour tout $x \in ]0,1[$ : $\displaystyle \int_x^{x^2} \frac{\dt}{t\,\ln t} = \ln 2$.
\item En déduire la limite de $\varphi$ en $1^-$.
\item \'Etudier également la limite $\varphi$ en $1^+$ et montrer que $\varphi$ admet un prolongement par continuité en $1$ noté encore $\varphi$. On donnera la valeur de $\varphi(1)$.
\item Sur quel intervalle a-t-on finalement prolongé $\varphi$ avec les questions 11 et 16 ?
\item Démontrer que la limite de $\varphi$ en $+\infty$ est $+\infty$ (on montrera un encadrement du même type qu'en 13).
\item \`A l'aide des différentes questions du problème, déterminer le tableau des variations de $\varphi$ sur $[0,+\infty[$.
\item Démontrer avec la question 6 l'existence de l'intégrale que l'on calculera : $$ \int_0^1 \frac{x-1}{\ln x} \dx.$$
\end{enumerate}

\newpage

\pb{0}{\textbf{2 : Calcul de l'intégrale de Gauss par les intégrales de Wallis} (adapté de CCP PSI)}

Le but du problème est de calculer l'intégrale, à laquelle on donnera un sens : $$ \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \dt.$$

\bigskip

\textbf{Partie I : Une étude de fonction définie par une intégrale}

\smallskip

On considère la fonction $f$ définie, pour tout $x \in \R$, par $$ f(x) = \int_0^x \exp(-t^2) \dt = \int_0^x e^{-t^2} \dt.$$

\begin{enumerate}[{I}.1]
\item Calculer $f(0)$, justifier que $f$ est de classe $\mathscr C^1$ sur $\R$ et que, pour tout $x \in \R$ : $ f'(x) = e^{-x^2}$.
\item En déduire que $f$ est croissante sur $\R$.
\item En justifiant que pour tout $t \in [1,+\infty[$, $e^{-t^2} \leq e^{-t}$, montrer que pour tout $x \in [1,+\infty[$ : $$ \int_1^x e^{-t^2} \dt \leq \int_1^x e^{-t} \dt = e^{-1} - e^{-x}.$$
\item Montrer que pour tout $x \in [1,+\infty[$ : $$ f(x) = \int_0^1 e^{-t^2} \dt + \int_1^x e^{-t^2} \dt \leq \int_0^1 e^{-t^2} \dt + e^{-1}.$$
\item En déduire que $f$ est majorée sur $\R$ et que $f$ admet une limite finie en $+\infty$ (on utilisera 2).
\end{enumerate}

Ceci permet de justifier la notation $\displaystyle \lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \dt$ que l'on calcule dans la suite du problème.

\bigskip

\textbf{Partie II : Dérivées successives de $f$}

\smallskip

On va montrer par récurrence que pour tout $n \in \N^*$, il existe un polynôme $P_n \in \R[X]$ tel que, pour tout $x \in \R$ : $$f^{(n)}(x) = P_n(x)\,e^{-x^2}.$$

\begin{enumerate}[{II}.1] \setcounter{enumi}{0}
\item Déterminer, avec la question précédente, $P_1$.
\item Soit $n \in \N^*$. On suppose qu'il existe un polynôme $P_n \in \R[X]$ tel que, pour tout $x \in \R$ : $$f^{(n)}(x) = P_n(x)\,e^{-x^2}.$$ Montrer que pour $x \in \R$ : $f^{(n+1)}(x) = \big(P'_n(x) - 2\,x\, P_n(x)\big)\,e^{-x^2}$.
\item On pose $P_{n+1}(X) = P'_n(X) - 2\,X\, P_n(X)$. Montrer que ceci achève la récurrence.
\item Avec la relation précédente, montrer, par récurrence, que pour tout $n \in \N^*$, $\deg(P_n) = n-1$. 
\end{enumerate}

\textbf{Partie III : Intégrales de Wallis}

\smallskip

On introduit, pour $n \in \N$, l'intégrale $\displaystyle W_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(t)^n \dt$.

\begin{enumerate}[{III}.1] \setcounter{enumi}{0}
\item Calculer $W_0$ et $W_1$ et $W_2$ (on pourra utiliser les formules d'Euler).
\item En donnant un encadrement de la fonction $\cos$ sur $[0,\frac{\pi}{2}]$, justifier que pour tout $n \in \N$, $W_n > 0$ et $t \in [0,\frac{\pi}{2}]$ : $$\cos(t)^{n+1} \leq \cos(t)^{n}.$$ 
\item En déduire, en intégrant l'inégalité précédente, que la suite $(W_n)_{n\in\N}$ est décroissante.
\item Montrer ainsi, avec les deux questions précédentes, que $(W_n)_{n\in\N}$ est une suite convergente.
\item Montrer également que pour tout $n \in \N$ : $W_{n+2} \leq W_{n+1} \leq W_n$ et que $\displaystyle \frac{W_{n+2}}{W_n} \leq \frac{W_{n+1}}{W_n} \leq 1$.
\end{enumerate}
On va maintenant déterminer un équivalent de $(W_n)_{n\in\N}$.
\begin{enumerate}[{III}.1] \setcounter{enumi}{5}
\item Soit $n \in \N$. En écrivant que $\displaystyle W_{n+2} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(t)\,\cos(t)^{n+1} \dt$ et en effectuant une intégration par parties, montrer que $$W_{n+2} = \left[ \sin(t)\,\cos(t)^{n+1} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + (n+1) \, \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(t)^2 \,\cos(t)^{n} \dt.$$ Simplifier cette expression en déterminant la valeur du crochet.
\item Rappeler la valeur, pour tout réel $t$ de $\sin(t)^2 + \cos(t)^2$ et en déduire que pour tout $ \in \N$ : $$W_{n+2} = (n+1) \, \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(t)^{n} \dt - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(t)^2 \,\cos(t)^{n} \dt = (n+1)\big(W_n - W_{n+2}\big).$$
\item Montrer ainsi que pour tout $n \in \N$, $\displaystyle \frac{W_{n+2}}{W_n} = \frac{n+1}{n+2}$.
\item En déduire que pour tout $n \in \N$, $(n+2)\, W_{n+2}\,W_{n+1} = (n+1)\, W_{n+1}\,W_{n}$.
\item Montrer, par récurrence, avec cette relation, que la suite $\big((n+1)\,W_{n+1}\,W_n\big)_{n\in\N}$ est constante. On précisera la valeur de cette constante à l'aide de la question III.1.
\item Avec les questions III.5 et III.8 montrer que $W_{n+1} \underset{ { n \rightarrow +\infty } {} } {\sim} W_n$ puis, avec III.10, que $$W_n \underset{ { n \rightarrow +\infty } {} } {\sim} \sqrt{\frac{\pi}{2\,n}}.$$ Quelle est la limite de $(W_n)_{n\in\N}$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie IV : Calcul de l'intégrale de Gauss}

\begin{enumerate}[{IV}.1]
\item En étudiant la fonction $x \mapsto e^{-x}-1+x$, montrer que pour tout $x \in [0,1]$ : $e^{-x} \geq 1-x$.
\item En déduire, (en posant $x = t^2$ dans la question précédente), que pour tout $n \in \N$ et tout $t \in [0,1]$ : $$e^{-n\,t^2} \geq (1-t^2)^n$$ puis que $$ \int_0^1 (1-t^2)^n \dt \leq \int_0^1 e^{-n\,t^2} \dt.$$
\item Soit $n \in \N^*$. En effectuant le changement de variable $y = \sqrt{n} \, t$, montrer que $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^{\sqrt{n}} e^{-y^2} \text{d}y = \int_0^1 e^{-n\,t^2} \dt$.
\item En effectuant le changement de variable $t = \sin(y)$, montrer que pour tout $n \in \N$ : $$ \int_0^1 (1-t^2)^n \dt =  \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(y)^{2\,n+1} \text{d}y.$$
\item Déduire des trois questions précédentes et de la partie précédente que pour tout $n \in \N^*$ : $$ \sqrt{n}\, W_{2\,n+1} \leq \int_0^{\sqrt{n}} e^{-t^2} \dt.$$
\item Avec l'équivalent de la partie précédente, quelle est la limite de $(\sqrt{n}\, W_{2\,n+1})_{n\in\N}$ ?
\item En passant à la limite dans l'inégalité de IV.5, montrer que $$ \frac{\sqrt{\pi}}{2} \leq \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \dt.$$
\item Montrer que pour tout $n \in \N$, $n \geq 2$, $\displaystyle \sqrt{n} \, W_{2\,n-2} \geq \int_0^{\sqrt{n}} e^{-t^2} \dt$ puis conclure.
\end{enumerate}

\newpage

\pb{0}{\textbf{3 : Irrationalité de $e$ et $\pi$, transcendance de $e$} (adapté Mines/ENSAI (I et II), adapté oral X  (III))}

Le but du problème est de montrer que $e$ et $\pi$ ne peuvent s'exprimer comme des quotient d'entiers et que $e$ est transcendant (ceci est défini dans la dernière partie).

\bigskip

\textbf{Partie I : Irrationalité de $e$}

\smallskip

On rappelle que pour $n\in \N$ : $n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n$. On considère deux suites $(u_n)_{n \in \N^*}$ et $(v_n)_{n \in \N^*}$ définies, pour tout $n \in \N^*$ par : $$ u_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \quad \text{et} \quad v_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} + \frac{1}{n \, n!}.$$

\begin{enumerate}[{I}.1]
\item Rappeler la valeur pour tout $n \in \N$ de $\exp^{(n)}(0)$ (les dérivées successives de la fonction $\exp$ en $0$).
\item Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \N^*}$ est strictement croissante.
\item Montrer que pour tout $n \in \N^*$ : $$ v_{n+1} - v_n = \frac{n\,(n+1) + n -(n+1)^2}{n\,(n+1)\,(n+1)!} <0.$$
\item En déduire la monotonie de $(v_n)_{n \in \N^*}$.
\item En déduire avec la formule de Taylor avec reste intégral que pour tout $n \in \N$ : $$ e^1 = \sum_{k=0}^n \frac{\exp^{(k)}(0)}{k!} 1^k + \int_0^1 (1-t)^n\, \frac{\exp^{(n+1)}(t)}{n!} \dt = u_n + \frac{1}{n!} \int_0^1 (1-t)^n\, e^t \dt.$$
\item Soit $ n \in \N^*$. En montrant que pour $t \in [0,1]$, $(1-t)^n \leq (1-t)^n\, e^t \leq (1-t)^n\,e$, justifier que $$\frac{1}{n}\leq \displaystyle \int_0^1 (1-t)^n\, e^t \dt \leq \frac{e}{n}.$$ Conclure sur la limite de cette intégrale lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
\item Déterminer les limites de $(u_n)_{n\in\N^*}$ et de $(v_n)_{n\in\N^*}$ et justifier que pour tout $n \in \N^*$ : $$ u_n < u_{n+1} \leq e \leq v_{n+1} < v_n.$$ 
\end{enumerate}

On raisonne par l'absurde en supposant qu'il existe $p,q\in\N^*$ tels que $\displaystyle e = \frac{p}{q}$.

\begin{enumerate}[{I}.1] \setcounter{enumi}{7}
\item Justifier avec la question précédente que $q! (e - u_q) >0$, $q! (v_q - u_q) = \frac{1}{q}$ puis que $$0< q!\,(e-u_q) \leq \frac{1}{q} < 1.$$
\item Démontrer que $q! (e - u_q)$ est un entier et conclure.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II : Irrationalité de $\pi$}

\smallskip

On raisonne par l'absurde en supposant qu'il existe $p,q\in\N^*$ tels que $\displaystyle \pi = \frac{p}{q}$. On définit, pour $n \in\N^*$, le polyn\^ome : $$P_n(X) = \frac{1}{n!} X^n (p-qX)^n.$$

\begin{enumerate}[{II}.1]
\item Soit $n \in \N$. Avec l'expression de $P_n$, montrer que $P_n(\frac{p}{q} - X) = P_n(X)$.
\item Soit $n \in \N$. En dérivant la relation précédente, montrer que pour tout $n\in\N$, $P'_n(\frac{p}{q} - X) = -P'_n(X)$ puis que pour tout $k \in \N$ : $P_n^{(k)}(\frac{p}{q} - X) = (-1)^k\,P_n^{(k)}(X)$
\item Soit $n \in \N$. Quel est le degré de $P_n$ ? En déduire que $P_n^{(2n+1)} = 0$ et que $$ P_n(X) = \sum_{k=0}^{2n} \frac{P_n^{(k)}(0)}{k!} X^k.$$
\item Justifier que pour tout $n \in \N$ : $\displaystyle P_n(X) = \frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k q^k \, p^{n-k}\, X^{n+k}.$
\item A l'aide des deux questions précédentes, montrer que pour tout $n \in \N$ : $$P_n^{(k)}(0) = \left\{
\begin{array}{ll}
  0 & \text{si $k \notin \llbracket n,2\,n \rrbracket$},\\
 \displaystyle (-1)^{k-n} \frac{k!}{n!} \binom{n}{k-n} p^{2\,n-k}\,q^{k-n} & \text{si $k \in \llbracket n,2\,n \rrbracket$.}
\end{array}
\right.$$
\item En déduire que pour tout $n,k \in \N$ : $P_n^{(k)}(0)$ est un entier. 
\item Montrer également avec la question précédente et II.2 que pour $n,k \in \N$, $P_n^{(k)}(\pi)$ est également un entier.
\end{enumerate}

On définit, pour $n \in \N$, l'intégrale : $I_n = \displaystyle \int_0^{\pi} \sin(t) \, P_n(t) \dt$.

\begin{enumerate}[{II}.1] \setcounter{enumi}{5}
\item Justifier que pour tout $t \in [0,\pi]$, $0 \leq p - q\,t \leq p$ (on n'oubliera pas que l'on suppose que $\pi = \frac{p}{q}$).
\item Montrer que pour tout $n \in \N$, $I_n >0$ (on déterminera le signe de $P_n$ avec la question précédente).
\item Déduire de II.6 que pour tout $t \in [0,\pi]$ et pour tout $n \in \N$, $n!\,|P_n(t)| \leq \pi^n\,p^n$.
\item Montrer ainsi que pour tout $n \in \N$ : $$|I_n| \leq \frac{(\pi p)^n}{n!}.$$
\item En déduire la limite de la suite $(I_n)_{n \in \N}$.
\item Soit $n \in \N$. Montrer par récurrence que pour tout $k \in \N$ : $$\hspace{-1cm}I_n = \left[ -\cos t \, P_n(t) + \cos t \, P''_n(t) - \cos t \, P_n^{(4)}(t) + \cdots + (-1)^{k-1}\,\cos t \,P_n^{(2k)}(t)\right]_0^{\pi} + (-1)^k \int_0^\pi P_n^{(2\,k+1)}(t) \cos(t) \dt.$$ On pourra effectuer deux intégrations par parties successives. 
\item En déduire avec II.6 et II.7 que $(I_n)_{n\in\N}$ est une suite d'entiers et conclure.
\end{enumerate}

\textbf{Partie III : Transcendance de $e$}

\smallskip

\begin{enumerate}[{III}.1]
\item Soit $P$ un polynôme de degré $p \in \N$. On pose $Q = \displaystyle \sum_{k=0}^p P^{(k)}$. Montrer que $Q' = Q - P$.
\item On considère, pour $t \in \R$, la fonction $f(t)=e^{-t}\,Q(t)$. Montrer que pour tout réel $t$ : $f'(t) = -e^{-t}\,P(t)$. 
\item En déduire que pour tout réel $x$ : $$ I(x) = \int_0^x e^{x-t}\,P(t) \dt = e^x\,\sum_{k=0}^p P^{(k)}(0) - \sum_{k=0}^p P^{(k)}(x).$$
\end{enumerate}

On veut montrer que $e$ n'est racine d'aucun polynôme à coefficients entiers : c'est la définition de la transcendance. On raisonne par l'absurde et on suppose qu'il existe $a_0,\dots,a_n\in\Z$ tels que $$a_0 + a_1\,e + \cdots + a_n\,e^n = 0$$ avec $a_0\neq 0$. Soit $p\in \N^*$. On pose $P(X) =  X^{p-1}\,(X-1)^p\,(X-2)^p \cdots (X-n)^p$ et $$J = a_0\,I(0) + a_1\,I(1) + \cdots + a_n\,I(n)$$ où $I$ est définie précédemment en III.3.

\begin{enumerate}[{III}.1] \setcounter{enumi}{3}
\item Montrer que $J$ est un entier.
\item Montrer que $(p-1)!$ divise $J$ et que pour tout entier premier $p$ assez grand $J \neq 0$.
\item Montrer qu'il existe $C \in \R$ tel que que pour tout $p\in\N$, $|J|\leq C^p$ et trouver une minoration de $|J|$.
\item En déduire que $e$ est transcendant.
\end{enumerate}

\end{document}

