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\newcommand{\finenonce}{\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}\bigskip}

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 \vspace*{-5.7ex}\newline {\Large \bf #1} \newline 
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\begin{document}




\titre{DS 11 (7/06/2014) \hfill PCSI}

Vous laisserez une marge en haut sur la première page et sur le côté gauche de votre copie pour les annotations.

\medskip

Cet énoncé comporte 1 exercice et 2 problèmes tous indépendants. \textbf{Justifiez} et \textbf{rédigez} vos réponses : la clarté et la précision sont prises en compte dans l'évaluation.

\medskip La calculatrice est interdite.

\bigskip





\noindent 



\setcounter{exo}{0} 



\enonce{}{\textit{Sommation} (extrait CCP PSI 
)}

On souhaite étudier, pour quelques exemples, lorsque $(a_n)_{n\in\N}$ est une suite réelle, le comportement de la suite $(b_n)_{n \in \N}$ donnée, pour $n \in \N$ par : $$ b_n = \frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \, a_k.$$

\begin{enumerate}
\item Rappeler la formule du binôme, donnant, pour $n\in\N$, $(x+y)^n$ lorsque $x,y\in\R$ pour en déduire $\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}.$
\end{enumerate}

On suppose dans les questions 2 et 3 que la suite $(a_n)_{n\in\N}$ est constante en $1$.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
\item Donner la valeur de la suite $(b_n)_{n \in \N}$.
\item Quelle est la nature de la série $\sum a_n$ ? Quelle est la nature de la série $\sum b_n$ ?
\end{enumerate}

Soit $x \in ]-1,1[$. On suppose dans les questions 4 à 6 que la suite $(a_n)_{n\in\N}$ est donnée, pour $n \in \N$, par : $ a_n = x^n$.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{3}
\item Donner l'expression, pour $n \in \N$, de la somme géométrique $\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k$ puis montrer que la série $\sum a_n$ converge et que $$\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} a_k = \frac{1}{1-x}.$$
\item Montrer, à l'aide de la question 1 que  pour tout $n \in \N$ : $b_n = \displaystyle \left(\frac{1+x}{2}\right)^n$.
\item Justifier que $\sum b_n$ converge et donner la valeur, en fonction de $x$ de $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} b_k.$
\end{enumerate}

On suppose dans les questions 7 et 8 que la suite $(a_n)_{n\in\N}$ est donnée, pour $n \in \N$, par : $ a_n = (-1)^n.$

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{6}
\item Quelle est la nature de $\sum a_n$ ?
\item Quelle est la nature de $\sum b_n$ ?
\end{enumerate}

\finenonce{}



\pb{0}{\textbf{1 : Ruine du joueur}}

\textbf{Partie I : Suite arithmético-géométrique}

Soit $N \in \N$, $N \geq 2$ et $p \in ]0,1[$, $p \neq 1/2$. On considère une suite, sous réserve qu'elle existe, définie par $u_0 = 1$, $u_N = 0$ et, pour tout $n \in \N^*$ : $$u_n = p\,u_{n+1} + (1-p)\,u_{n-1}.$$

\begin{enumerate}[{I}.1] \setcounter{enumi}{0}
\item On pose, pour tout $n \in \N^*$ : $v_n = u_n - u_{n-1}$. Montrer que $(v_n)_{n\in\N^*}$ est une suite géométrique de raison $\displaystyle \frac{1-p}{p}$. En déduire une expression de cette suite en fonction de $n\in\N^*$ et $v_1$.
\end{enumerate}

On pose $\displaystyle x = \frac{1-p}{p}$.

\begin{enumerate}[{I}.1] \setcounter{enumi}{1}
\item Montrer que $x \in ]0,1[ \cup ]1,+\infty[$.
\item Montrer que pour tout $n \in \N^*$ : $u_n = u_0 + \displaystyle \sum_{k=1}^n v_k$ puis que $$ u_n = 1+v_1 \sum_{k=1}^n x^{k-1} = 1 + v_1 \, \frac{x^n-1}{x-1}.$$

\item  On rappelle que $u_N = 0$. Déterminer une expression de $v_1$ et conclure que pour tout $n \in \N^*$, $$ u_n = 1 - \frac{x^n-1}{x^N-1}.$$

\end{enumerate}

\textbf{Partie II : \'Etude d'un jeu}

\smallskip

Un joueur souhaite acheter une voiture de luxe au-dessus de ses moyens et pour cela il se rend au casino. Le prix
de la voiture correspond à $N \in \N$, $N \geq 2$ jetons et le joueur reçoit une mise initiale de $n \in \llbracket 0,N \rrbracket$ jetons. 

\smallskip

Il joue à un jeu où la probabilité qu'il gagne un jeton est $p \in ]0,1[$, $p \neq 1/2$ et la probabilité qu'il perde un jeton est $1-p$. Il joue plusieurs fois, de manière indépendante, à ce jeu. 

\smallskip

Le jeu se termine soit par la ruine du joueur, dès qu'il n'a plus de jeton (il n'y a donc aucun lancer si $n = 0$), soit par sa victoire, dès qu'il a obtenu $N$ jetons.

\medskip

On notera $u_n$ la probabilité que le joueur soit ruiné avec une mise initiale de $n$ jetons.

\begin{enumerate}[{II}.1] \setcounter{enumi}{0}
\item Déterminer $u_0$ et $u_N$.
\item On suppose ici que $n \in \llbracket 1, N-1 \rrbracket$. On considère les événements $E_{n}$ : \og le joueur est ruiné avec une mise initiale de $n$ jetons \fg{} 
et $G_1$~:~\og le premier jeu est gagné \fg{}. Montrer que $$P(E_n) = P(E_n | G_1)\,p + P(E_n | \overline{G_1})\,(1-p).$$
\item Montrer ainsi que pour tout $n \in \llbracket 1, N-1 \rrbracket$ : $u_{n} = p\,u_{n+1} + (1-p)\,u_{n-1}$. 
\item En déduire, avec la partie I, une expression de $u_n$ pour $n \in \llbracket 0, N \rrbracket$.
\item Démontrer, lorsque $k \in \N^*$, que $$x^k -1 \displaystyle \underset{ { x \rightarrow 1 } {} } {\sim} k\, (x-1).$$
\item En déduire la limite de $u_n$ (qui dépend de $x$) lorsque $x$ tend vers $1$. Interpréter le résultat (on remarquera que la limite lorsque $x$ tend vers 1 correspond à la limite lorsque $p$ tend vers $1/2$).
\item On suppose que la voiture est chère compte-tenu du nombre de jetons qu'on donne au joueur au départ. Quelle est la probabilité de voir le joueur parvenir à s'acheter la voiture ?

\end{enumerate}

\pb{0}{\textbf{2 : Déplacement d'un pion} (adapté de ESCP)}

\textbf{Partie I : Matrices}

\smallskip

On pose : $\displaystyle J= \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1& 1 \\
1 & 1 & 1& 1 \\
1 & 1 & 1& 1 \\
1 & 1 & 1& 1
\end{pmatrix}$, $\displaystyle K = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1& 0 \\
0 & 1 & 0& -1 \\
-1 & 0 & 1& 0 \\
0 & -1 & 0& 1
\end{pmatrix}$ et $\displaystyle M = \frac{1}{4} J + \frac{1}{6} K$.

\bigskip

\begin{enumerate}[{I}.1] \setcounter{enumi}{0}
\item Calculer $JK$ et $KJ$. En déduire que pour tout entier $n \geq 2$ et $k \in \llbracket 1,n-1 \rrbracket$, $J^k K^{n-k}$ est la matrice nulle.
\item Montrer, par récurrence, que pour tout $n \in \N^*$, $J^n = 4^{n-1} J$ et $K^n = 2^{n-1} K$.
\item \`A l'aide des deux questions précédentes, montrer que pour tout $n \in \N^*$ : $$ M^n = \left(\frac{1}{4} J + \frac{1}{6} K\right)^n = \frac{1}{4} \, J + \frac{1}{2} \, \frac{1}{3^n} K.$$ \textit{Indication : on pourra appliquer la formule du binôme de Newton (d'autres méthodes sont possibles).}
\end{enumerate}

\textbf{Partie II : Modélisation du déplacement d'un pion sur un damier à 9 cases}

\smallskip

On considère un damier à 9 cases blanches et noires (en grisé sur le dessin) numérotées de la façon suivante :

\tikzstyle{checker} = [cylinder, minimum width=.8cm, 
 shape border rotate=90,cylinder end fill=gray!50!white,
 cylinder body fill=gray, cylinder uses custom fill]
 \begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[ultra thick] (0,0) rectangle (3,-3);
    \foreach \row in {0,1} {
    \fill[color=gray!50] ({1+mod(\row,2)}, -\row) rectangle +(1,-1);
        }
        \foreach \row in {0} {
    \fill[color=gray!50] ({mod(\row,2)}, -\row-1) rectangle +(1,-1);
        }    
    \foreach \row in {0,2} {
    \fill[color=gray!50] ({1 + mod(\row,1)}, -\row) rectangle +(1,-1);
        }
        \draw[ultra thick] (0,0) rectangle (3,-3);
        \draw (0.5,-0.5) node{$B_2$};
                \draw (1.5,-1.5) node{$B_1$};
                        \draw (2.5,-0.5) node{$B_3$};
                                \draw (0.5,-2.5) node{$B_4$};
                                        \draw (2.5,-2.5) node{$B_5$};
                                                \draw (1.5,-0.5) node{$N_1$};
                                                        \draw (2.5,-1.5) node{$N_2$};
                                                                \draw (0.5,-1.5) node{$N_4$};
                                                                \draw (1.5,-2.5) node{$N_3$};
                                                            
\end{tikzpicture}
\end{center}

Un pion se déplace avec équiprobabilité sur ce damier de la case où il se trouve vers une des cases qui possède
avec cette case un côté commun. Ainsi, si le pion est en $N_2$, il peut se déplacer vers $B_1$, $B_3$ ou $B_5$, avec des probabilités égales. On suppose qu'au départ le pion est en $B_1$.

\begin{enumerate}[{II}.1] \setcounter{enumi}{0}
\item Sur quelles cases peut se trouver le pion après un nombre pair de déplacements ?
\end{enumerate}

On note, pour tout $n \in \N^*$ les événements : \begin{enumerate}
\item[$\bullet$] $B_{k,n}$ \og le pion est sur la case $B_k$ après $2n$ déplacements \fg{}; 
\item[$\bullet$] $N_{k,n}$ \og le pion est sur la case $N_k$ après $2n-1$ déplacements \fg{};
\end{enumerate} et $B_{k,0}$ \og le pion est sur la case $B_k$ au départ \fg{}.

On pose pour tout entier $n \in \N$ : $V_n = \begin{pmatrix}
p_{1,n} \\
p_{2,n} \\
p_{3,n} \\
p_{4,n} \\
p_{5,n}
\end{pmatrix}$ où $p_{k,n} = P(B_{k,n})$ et, si $n \geq 1$, $W_n = \begin{pmatrix}
q_{1,n} \\
q_{2,n} \\
q_{3,n} \\
q_{4,n}
\end{pmatrix}$ où $q_{k,n} = P(N_{k,n})$.

\begin{enumerate}[{II}.1] \setcounter{enumi}{1}
\item Quelle est la valeur de $V_0$ ? de $W_1$ ?
\item Justifier que pour tout entier $n \in \N^*$, $B_{1,n}$, $B_{2,n}$, $B_{3,n}$, $B_{4,n}$, $B_{5,n}$ et $N_{1,n}$, $N_{2,n}$, $N_{3,n}$, $N_{4,n}$ sont deux systèmes complets d'événements.
\item En déduire que pour tout $n \in \N^*$ et $k \in \llbracket 1,5 \rrbracket$ : $$ P(B_{k,n}) = P(B_{k,n}|N_{1,n})\,P(N_{1,n}) + P(B_{k,n}|N_{2,n})\,P(N_{2,n}) + P(B_{k,n}|N_{3,n})\,P(N_{3,n}) + P(B_{k,n}|N_{4,n})\,P(N_{4,n}).$$
\item Montrer ainsi que pour tout $n \in \N^*$, $V_n = B\,W_n$ où $$ B = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\*[0,2em]
\frac{1}{3} & 0 & 0& \frac{1}{3} \\*[0,2em]
\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\*[0,2em]
0&0&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\*[0,2em]
0&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&0
\end{pmatrix}.$$
\item Montrer de façon analogue au cas précédent qu'il existe une matrice $A \in \mathscr M_{4,5}(\R)$ telle que pour tout $n \in \N^*$ : $W_n = A\,V_{n-1}$. On donnera l'expression de $A$.
\item Conclure que pour tout $n \in \N^*$, $V_n = (BA)\,V_{n-1}$ et que $AB = M$, la matrice définie en partie I.
\end{enumerate}

\textbf{Partie III : Calcul des probabilités.}

\smallskip

\begin{enumerate}[{III}.1] \setcounter{enumi}{7}
\item Montrer que pour tout $n \in \N$ : $V_n = (BA)^n V_0$ et que, si $n \geq 1$, $(BA)^n = B\,(AB)^{n-1} A = B\,M^{n-1} A$.
\item En réutilisant l'expression des puissances successives de $M$ en I.3, déterminer avec la question précédente la première ligne de la matrice $(BA)^n$ lorsque $n \in \N$.
\item En déduire que $p_{1,n} = 1/3$ pour tout $n \in \N^*$. Interpréter ce résultat.

\item On considère la variable aléatoire définie, pour $i \in \llbracket 1,n \rrbracket$, par $$X_i = \begin{cases} 1 &\text{si le pion est en case $B_1$ après $2\,i$ déplacements}\\
0 & \text{sinon} \end{cases}$$ Quelle loi suit cette variable aléatoire ? On donnera son espérance.
\item Que représente la variable aléatoire $Y = X_1 + \cdots + X_n$ pour $n\in\N^*$ ? Quelle est la loi de $Y$ ? Calculer son espérance.
\end{enumerate}
\end{document}

