


\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tikz} 
\DeclareSymbolFont{cmmathcal}{OMS}{cmsy}{m}{n}
\DeclareSymbolFontAlphabet{\mathcal}{cmmathcal}  

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{pdftitle={DS - PCSI}, pdfauthor={Laurent PATER}}

\usepackage{geometry}
\geometry{top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm}


\newcommand{\Nn}{\mathbb{N}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Rr}{\mathbb{R}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Cc}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Kk}{\mathbb{K}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}}


\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits}
\newcommand{\llbracket}{\left[\kern-0.15em\left[}
\newcommand{\rrbracket}{\right]\kern-0.15em\right]}


\newcommand{\ch}{\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits}
\newcommand{\sh}{\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits}
\renewcommand{\tanh}{\mathop{\mathrm{th}}\nolimits}
\newcommand{\cotan}{\mathop{\mathrm{cotan}}\nolimits}
\newcommand{\Arcsin}{\mathop{\mathrm{Arcsin}}\nolimits}
\newcommand{\Arccos}{\mathop{\mathrm{Arccos}}\nolimits}
\newcommand{\Arctan}{\mathop{\mathrm{Arctan}}\nolimits}
\newcommand{\Argsh}{\mathop{\mathrm{Argsh}}\nolimits}
\newcommand{\Argch}{\mathop{\mathrm{Argch}}\nolimits}
\newcommand{\Argth}{\mathop{\mathrm{Argth}}\nolimits}
\newcommand{\pgcd}{\mathop{\mathrm{pgcd}}\nolimits} 

\setlength\parindent{0pt}




\newcounter{exo}
\newcommand{\enonce}[2]{\refstepcounter{exo}{\bf Exercice \arabic{exo}}\ \  #2\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}}

\newcommand{\finenonce}{\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}\bigskip}

\newcounter{qcours}
\newcommand{\qcours}[2]{{\bf Questions de cours}\ \  #2\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}}


\newcommand{\titre}[1]{
\vspace*{-8ex} \hfill \hspace*{1.5cm} 
 \vspace*{-5.7ex}\newline {\Large \bf #1} \newline 
 \rule{\linewidth}{1mm} \vspace*{3ex}}



\usepackage{graphics}
\usepackage[all]{xy}
\pagestyle{empty}


\begin{document}

\titre{DS 2 (28/09/2013) \hfill PCSI}

Vous laisserez une marge en haut sur la première page et sur le côté gauche de votre copie pour les annotations.

\medskip

Cet énoncé comporte une partie questions de cours et 3 exercices indépendants dont la difficulté est croissante.

\medskip

\textbf{Justifiez} et \textbf{rédigez} vos réponses : la clarté et la précision sont prises en compte dans l'évaluation.

\medskip La calculatrice est interdite.

\bigskip

Pour toutes les représentations géométriques, le plan $\mathscr P$ sera rapporté à un repère orthonormé $(0, \vec{i}, \vec{j})$ (on pourra prendre pour unité graphique, lorsque les dessins sont nécessaires, 2 cm ou quelques \og carreaux \fg).

\bigskip





\noindent 




\qcours{0}{}

\begin{enumerate}
\item Donner les \textbf{domaines de définition} et de \textbf{dérivabilité} des fonctions $\exp$, $\ln$, racine carrée, $\cos$ et $\sin$.
\item Donner la fonction dérivée des fonctions $\exp$, $\ln$, racine carrée, $\cos$ et $\sin$ et pour $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$, la dérivée de $e^u$, $\sqrt{u}$ et $\ln u$ (on ne demande pas ici le domaine de dérivabilité).
\item \'Enoncer précisément le théorème de la bijection.
\end{enumerate}

\finenonce{}



\setcounter{exo}{0} 



\enonce{}{}

Soit $z \in \C$. On considère le point $M$ d'affixe $z$, le point $N$ d'affixe $1+z$ et le point $P$ d'affixe $1+z+z^2$.

\begin{enumerate}
\item Lorsque $M$ est construit sur un dessin, comment en déduit-on $N$ ?
\item On considère, \textbf{uniquement dans cette question}, que $\displaystyle z = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt 3}{2}$. Exprimer $1+z$ sous forme trigonométrique et calculer $1+z+z^2$.
\item On suppose désormais que $M$ est un point du cercle de centre $O$ et de rayon $1$ dont l'abscisse est strictement positive. Justifier qu'il existe $\theta \in \left] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$ tel que $$z = e^{i \theta}.$$
\item Exprimer $1+z = 1 +e^{i \theta}$ sous forme trigonométrique en fonction de $\theta$.
\item Montrer que les points $O,M,P$ sont alignés si et seulement si $\displaystyle \frac{1}{z} + 1 + z$ est réel. En déduire que $O,M,P$ sont alignés.
\end{enumerate}

\finenonce{}





\enonce{}{}
Soit $n \in \N^*$.
\begin{enumerate}
\item Que vaut $\left(e^{ \textstyle i \frac{\pi}{n}}\right)^n$ et quel est le signe de $\displaystyle \sin\left( \frac{\pi}{2n}\right)$ ?
\item Montrer que $$S_n = 1 + e^{ \textstyle i \frac{\pi}{n}} + \left(e^{ \textstyle i \frac{\pi}{n}}\right)^2 + \cdots + \left(e^{ \textstyle i \frac{\pi}{n}}\right)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} \left(e^{ \textstyle i \frac{\pi}{n}}\right)^k = \frac{2}{1-e^{ \textstyle i \frac{\pi}{n}}}.$$
\item Exprimer la forme trigonométrique, en fonction de $n$, du nombre : $1-e^{ \textstyle i \frac{\pi}{n}}$. En déduire les égalités : $$ \frac{2}{1-e^{ \textstyle i \frac{\pi}{n}}} = \frac{2}{- 2i \sin \left(\frac{\pi}{2n}\right)e^{ \textstyle i \frac{\pi}{2 n}} }= 1 + i \, \frac{\cos \left(\frac{\pi}{2n}\right)}{\sin \left(\frac{\pi}{2n}\right)}. $$
\item  Montrer que $$\sum_{k=0}^{n-1} e^{ \textstyle i \frac{k\pi}{n}} = \sum_{k=0}^{n-1} \cos \left( \frac{k\pi}{n}\right) + i \sum_{k=0}^{n-1} \sin \left( \frac{k\pi}{n}\right).$$
\item \`A l'aide des questions 3 et 4, donner la valeur de $$\sum_{k=0}^{n-1} \cos \left( \frac{k\pi}{n}\right). $$
\end{enumerate}

\finenonce{}





\enonce{}{} On souhaite résoudre l'équation, pour $n \in \N^*$, d'inconnue $z \in \C$, \begin{equation}
1 + z +z^2 + \dots + z^{n-1} = 0. \tag{E} \label{E}
\end{equation}

\begin{enumerate}
\item Le nombre complexe $z = 1$ est-il solution de \eqref{E} ?
\item Montrer que si $z \in \C$ est solution de \eqref{E}, alors $z$ vérifie \begin{equation}
z^n -1 = 0. \label{E'}\tag{E'}
\end{equation}
\item L'équation \eqref{E'} est-elle équivalente à l'équation \eqref{E} ?
\item Donner l'expression trigonométrique, en fonction de~$n$ des solutions de \eqref{E'}. En déduire les solutions de~\eqref{E}. Combien \eqref{E} a-t-elle de solutions ?
\item Donner l'expression algébrique des solutions de \eqref{E} pour $n=5$.
\item Calculer la valeur du produit des solutions de \eqref{E}.
\item Résoudre l'équation, d'inconnue $z \in \C$ : \begin{equation}
1 + 2 z + 2 z^2 + 2 z^3 + \cdots + 2 z^{n-1} + z^n =0. \tag{E''}
\end{equation} Combien cette équation a-t-elle de solutions ?
\end{enumerate}

\finenonce{}



\end{document}

