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\newcommand{\finenonce}{\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}\bigskip}

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\vspace*{-8ex} \hfill \hspace*{1.5cm} 
 \vspace*{-5.7ex}\newline {\Large \bf #1} \newline 
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\begin{document}




\titre{DS 3 (12/10/2013) \hfill PCSI}

Vous laisserez une marge en haut sur la première page et sur le côté gauche de votre copie pour les annotations.

\medskip

Cet énoncé comporte une partie questions de cours et 3 exercices indépendants dont la difficulté est croissante.

\medskip

\textbf{Justifiez} et \textbf{rédigez} toutes vos réponses bien que l'énoncé soit \textbf{très long} : la clarté et la précision sont prises en compte dans l'évaluation.

\medskip La calculatrice est interdite. 

\bigskip

Pour toutes les représentations graphiques, le plan sera rapporté à un repère orthonormé $(0, \vec{i}, \vec{j})$ (on pourra prendre pour unité graphique, lorsque les dessins sont nécessaires, 2 cm ou quelques \og carreaux \fg).

\bigskip





\noindent 




\qcours{0}{}

\begin{enumerate}
\item Donner les \textbf{domaines de définition} et de \textbf{dérivabilité} des fonctions $\exp$, $\ln$, racine carrée, $\cos$ et $\sin$.
\item Donner la fonction dérivée des fonctions $\exp$, $\ln$, racine carrée, $\cos$ et $\sin$.
\item Donner, pour $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$, la dérivée de $u^3$, $e^{\textstyle u}$, $\sqrt{u}$ et $\ln u$ (on ne demande pas ici le domaine de dérivabilité).
\item \'Enoncer \textbf{précisément} le théorème de la bijection.
\end{enumerate}

\finenonce{}



\setcounter{exo}{0} 



\enonce{}{}

On considère la fonction $f$ donnée par $$f(x) = e^{-\textstyle x^2} = \exp(-x^2). $$
\begin{enumerate}
\item Donner le domaine de définition de $f$ et montrer que $f$ est paire. Quelle symétrie sa courbe représentative admet-elle ?
\item Justifier que $f$ est dérivable sur $\R$ et calculer sa dérivée.
\item Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ (on justifiera avec soin au moins une des limites).
\item \'Etablir le tableau des variations de $f$ (on fera notamment apparaître $f(0)$ que l'on calculera).
\item En déduire que pour tout $x \in \R$, $$ 0<f(x)\leq 1.$$
\item Montrer que $f$ est une bijection de $[0,+\infty[$ sur un intervalle que l'on précisera. Justifier que pour tout $y \in ]0,1]$, il existe $x \in [0,+\infty[$ tel que $y = f(x)$. 
\item La fonction $f$ est-elle une bijection sur $\R$ ? Justifiez votre réponse.
\item Calculer une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ en $x = 0$.
\item Tracer la courbe représentative de $f$.
\item Montrer que pour tout $x \in \R$, $$ f'(x) + 2x f(x) =0.$$ En déduire que $f$ est dérivable deux fois sur $\R$ et que pour tout $x \in \R$ : $$ f''(x) = (2x^2-1) f(x).$$
\end{enumerate}

\finenonce{}





\enonce{}{}
\begin{enumerate}
\item En étudiant la fonction $g$ donnée par $g(x) = e^x - 1 -x$ et en montrant que celle-ci est positive sur $\R$, montrer que pour tout $x \in \R$, $$ e^x \geq 1+x.$$


\item Montrer que la tangente $T_0$ en $x=0$ à la courbe représentative de la fonction $\exp$ satisfait l'équation $y = 1 +x$. La courbe représentative de la fonction $\exp$ est-elle située au-dessus ou en-dessous de $T_0$ ?


\end{enumerate}

Désormais, on considère une fonction $f$ quelconque, définie sur $\R$, dérivable deux fois sur $\R$ et qui vérifie, pour tout $x \in \R$ : $$ f''(x) \geq 0.$$ 

\begin{enumerate}
\item[5.] On définit, pour tout $x \in \R$, $\varphi(x) = f'(x) - f'(0)$. Que vaut $\varphi(0)$ ? Montrer, en faisant un tableau de variations, que $\varphi$ est positive sur $\R$.
\item[6.] On définit pour tout $x \in \R$ : $\psi(x) = f(x) - x f'(0) - f(0)$. Que vaut $\psi(0)$ ? Montrer, pour tout $x \in \R$, que $$ \varphi(x) = \psi'(x).$$ En déduire, avec la question précédente, que $\psi$ est croissante sur $\R$ puis que $\psi$ est positive.
\item[7.] Conclure que la courbe représentative de la fonction $f$ est située au-dessus de sa tangente en $0$.
\item[8.] Montrer que la courbe représentative de la fonction $f$ est située au-dessus de n'importe laquelle de ses tangentes (une telle fonction est dite convexe).
\end{enumerate}

\finenonce{}





\enonce{}{}

On démontre dans cet exercice des inégalités qui vont permettre d'encadrer la somme définie, pour $n \in \N^*$, par : $$H_n = \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac 1 k = 1 + 2 + \cdots + \frac 1 n.$$

\begin{enumerate}
\item Déduire de la question 1. de l'exercice 2 que pour tout réel $x >-1$, $$ x \geq \ln(1+x).$$
\item En déduire que, pour tout réel $x < 1$, $$ x \leq -\ln(1-x).$$
\item Montrer, pour tout entier $k \in \N$, $k \geq 2$, que $$ \ln(k+1) - \ln (k) = \ln\left(1+\frac 1 k\right) \quad \text{et} \quad \ln(k) - \ln (k-1) = -\ln\left(1-\frac 1 k\right) $$ 
\item Montrer, à l'aide des questions 1, 2 et 3, que pour tout entier $k \geq 2$,  $$ \big(\ln(k+1) - \ln (k) \big) \leq \frac 1 k \leq \big(\ln(k) - \ln (k-1)\big)$$
\item Simplifier, pour tout entier $n \geq 2$, $$ \sum_{k=2}^n \displaystyle \big(\ln(k+1) - \ln (k)\big) \quad \text{et} \quad \sum_{k=2}^n \displaystyle \big( \ln (k) - \ln(k-1)  \big) $$
\item En sommant les inégalités, pour tout entier $k\geq 2$, de la question 4 et en utilisant les simplifications de la question 5, montrer que, pour tout entier $n \geq 2$ : $$ \ln (n+1) - \ln 2 \leq \sum_{k=2}^n \displaystyle \frac 1 k \leq \ln (n)$$ puis que $$ 1+\ln (n+1) - \ln 2 \leq H_n \leq 1 + \ln n.$$
\item Quelle est la limite de $H_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?
\item Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \N^*}$ définie par $u_n = H_n - \ln n$ pour $n \geq 1$ est convergente.
\end{enumerate}

\finenonce{}

\end{document}

