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\newcommand{\enonce}[2]{\refstepcounter{exo}{\bf Exercice \arabic{exo}}\ \  #2\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}}

\newcommand{\finenonce}{\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}\bigskip}

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\newcommand{\qcours}[2]{{\bf Questions de cours}\ \  #2\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}}


\newcommand{\titre}[1]{
\vspace*{-8ex} \hfill \hspace*{1.5cm} 
 \vspace*{-5.7ex}\newline {\Large \bf #1} \newline 
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\begin{document}




\titre{DS 5 (23/11/2013) \hfill PCSI}

Vous laisserez une marge en haut sur la première page et sur le côté gauche de votre copie pour les annotations.

\medskip

Cet énoncé comporte une partie questions de cours et 3 exercices dont les questions sont de plus en plus difficiles dans chaque exercice.

\medskip

\textbf{Justifiez} et \textbf{rédigez} toutes vos réponses : la clarté et la précision sont prises en compte dans l'évaluation.

\medskip La calculatrice est interdite. 

\bigskip





\noindent 




\qcours{0}{}

\begin{enumerate}
\item On considère le système d'inconnues $x,y,z,t,u,v,w \in \R$ donné par : $$(S) \, \left\{\begin{array}{rcl} x + 2 \, y + w & = & 0  \\
 z + w & = & 0 \\
t + v + w & = & 0
\end{array}\right. .$$ Donner le rang de ce système, les inconnues principales et secondaires et donner l'ensemble des solutions de $(S)$ sous la forme $\mathscr S = \cdots$.
\item Soient $n \in \N^*$ et $A \in \mathscr M_n(\R)$. Donner la définition de \og $A$ est inversible \fg{} ainsi que deux critères différents d'inversibilité (au choix).
\item Soit $n \in \N^*$. On considère $A,B \in \mathscr M_n(\R)$. Donner, sans démonstration, l'expression de $(AB)^{\text T}$ en fonction de $A^{\text T}$ et $B^{\text T}$.
\end{enumerate}

\finenonce{}



\setcounter{exo}{0} 



\enonce{}{\textbf{: Des matrices inversibles ou non.}}

On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}
0&1&1\\
1&0&1\\
1&1&0
\end{pmatrix}$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $A^2 = A + 2 I_3$.
\item En remarquant que $\frac{1}{2}\left[ A^2 - A \right]= A\left(\frac{1}{2}\left[ A - I_3 \right]\right)$, justifier que $A$ est inversible et donner une expression de son inverse.
\end{enumerate}

On considère désormais la matrice $J = \begin{pmatrix}
1&1&1\\
1&1&1\\
1&1&1
\end{pmatrix}.$

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2}
\item Montrer que $J^2 = 3 J$.
\item Montrer que : $$ J \underset{L}{\sim} \begin{pmatrix}
1&1&1\\
1&1&1\\
0&0&0
\end{pmatrix}.$$ La matrice $J$ est-elle inversible ?
\end{enumerate}

Soit $n \in \N^*$. On considère finalement la matrice de $\mathscr M_n(\R)$ : 
$$K = \begin{pmatrix}
1& \cdots &1\\
\vdots & & \vdots\\
1 & \cdots &1
\end{pmatrix},$$ la matrice comportant $n$ lignes et $n$ colonnes et dont tous les coefficients sont des $1$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $K^2 = n \, K$.
\item On souhaite raisonner par l'absurde pour prouver que $K$ n'est pas inversible. On suppose donc que $K$ est inversible. Montrer que dans ce cas $$ K = n \, I_n.$$
\item Conclure quant à l'inversibilité de la matrice $K$.
\end{enumerate}

\finenonce{}





\enonce{}{\textbf{: Polynômes de Lagrange}}
\begin{enumerate}
\item Résoudre le système d'inconnues $x,y \in \R$ donné par  $$ (S_1) \ \left\{\begin{array}{rcl} x+y& = & -1 \\
 y & = & 0
\end{array}\right.$$
\item Résoudre le système d'inconnues $x,y,z \in \R$ donné par  $$ (S_2) \ \left\{\begin{array}{rcl} x+y+z& = & -1 \\
 4x+2y+z & = & -8 \\
 z & = & 0
\end{array}\right.$$


\end{enumerate}

Soient $x,y,z \in \R$. On considère les polynômes de la variable $t\in \R$ donnés par : $$ P_1(t) = t^2 + x\,t + y \quad \text{et} \quad P_2(t) = t^3 + x\,t^2 + y\,t + z.$$

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{3}
\item Montrer que $P_1(1) = 1 + x +y$. Calculer également $P_1(0)$ en fonction de $x$ et $y$.
\item On suppose que $P_1(0) = 0$ et $P_1(1) = 0$. Montrer que $x$ et $y$ sont solutions du système $(S_1)$.
\item En déduire l'expression du polynôme $P_1$.
\item Donner, à l'aide du système $(S_2)$, l'expression du polynôme $P_2$ qui vérifie : $$ P_2(0) = P_2(1) = P_2(2) =0.$$

\end{enumerate}

\finenonce{}





\enonce{0}{\textbf{: Suites récurrentes linéaires}}

\smallskip

\textbf{Partie A : Puissances d'une matrice}

\medskip

On pose $\varphi = \displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $\varphi' = \displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}$.

\begin{enumerate}[{A}.1]
\item Montrer que $\varphi + \varphi' = 1$, que $\varphi \varphi' = -1$ et que $\varphi - \varphi' = \sqrt 5$.
\item Montrer que $\varphi^2 - (\varphi')^2 = \sqrt{5}$ et que $-\varphi' \varphi^2 + (\varphi')^2 \varphi = \sqrt 5$.
\end{enumerate}  et on considère les matrices $$A = \begin{pmatrix}
1&1\\
1&0
\end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix}
\displaystyle \varphi &\displaystyle \varphi'\\
1&1
\end{pmatrix}, \quad Q = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}
1& \displaystyle - \varphi'\\
-1&\displaystyle \varphi
\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad D = \begin{pmatrix}
\displaystyle \varphi&0\\
0&\displaystyle \varphi'
\end{pmatrix}. $$

\begin{enumerate}[{A}.1] \setcounter{enumi}{2}

 \item Calculer le produit $PQ$ (on simplifiera à l'aide de la question A.1). En déduire que $P$ est inversible et exprimer $P^{-1}$ en fonction de $Q$.
\item Montrer que $P D P^{-1} = A$ (on simplifiera à l'aide des questions A.1 et A.2).
\item Donner l'expression, pour tout $n \in \N$, de $D^n$ en fonction de $\varphi$ et $\varphi'$.
\item Montrer, par récurrence, que pour tout $n \in \N$ : $$ A^n = PD^n P^{-1}.$$
\item Montrer que, pour tout $n\in \N$ : $$A^n = \frac{1}{\sqrt 5}\begin{pmatrix}
\star&\star \\
\varphi^n - (\varphi')^n &\star
\end{pmatrix},$$ où les $\star$ sont des coefficients que l'on ne calculera pas. 
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B : Suite de Fibonacci}

\medskip 

On considère la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par $u_0 = 0$, $u_1 = 1$ et pour tout $n\in\N$ : $$ u_{n+2} = u_{n+1} + u_n.$$ On pose, pour tout $n \in \N$, $$U_n = \begin{pmatrix}
u_{n+1} \\
u_n
\end{pmatrix} $$

\smallskip

\begin{enumerate}[B.1]
\item Montrer que, pour tout $n \in \N$, $U_{n+1} = A \, U_n$, où $A$ est la matrice de la partie A.
\item En déduire que, pour tout $n \in \N$, $U_n = A^n U_0$ où $U_0 = \begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}$.
\item Conclure que, pour tout $n \in \N$, $$u_n = \frac{1}{\sqrt 5} \left[ \left( \frac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n - \left( \frac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n\right].$$
\item \textit{Application} : Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en après $n$ mois si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple ? Ce type de modèle est-il réaliste ?
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie C : Cas général}

\medskip 

Soient $a,b \in \R$. On considère la suite $(v_n)_{n \in \N}$ définie par $v_0 = 0$, $v_1 = 1$ et pour tout $n\in\N$ : $$ v_{n+2} = a v_{n+1} + b v_n.$$ On pose, pour tout $n \in \N$, $$V_n = \begin{pmatrix}
v_{n+1} \\
v_n
\end{pmatrix} $$

\smallskip

\begin{enumerate}[B.1]
\item Montrer que, pour tout $n \in \N$, $V_{n+1} = B \, V_n$, où $B$ est une matrice que l'on explicitera.
\item Montrer que $B^2 - a B - b I_2 = 0_2$.
\item Soient $\lambda_1$, $\lambda_2$ (éventuellement confondues et complexes) les solutions de l'équation d'inconnue $z \in \C$ du polynôme $$ z^2 - a z - b = 0.$$ Montrer que $(B - \lambda_1\, I_2) (B - \lambda_2\, I_2) = 0_2.$
\item Montrer que pour $i = 1,2$, $B - \lambda_i\, I_2$ n'est pas inversible puis qu'il existe $X_i \in \mathscr M_{2,1}(\R)$ non nul tel que $$B X_i = \lambda_i X_i.$$
\item On suppose qu'il existe $\alpha,\beta\in\R$ tels que $\alpha X_1 + \beta X_2 = \begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix}$. 

Exprimer la suite $(v_n)_{n \in \N}$ en fonction de $\lambda_1,\lambda_2,\alpha,\beta$.
\end{enumerate}

\end{document}


\finenonce{}

\end{document}

