


\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tikz} 
\DeclareSymbolFont{cmmathcal}{OMS}{cmsy}{m}{n}
\DeclareSymbolFontAlphabet{\mathcal}{cmmathcal}  

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{pdftitle={DS - PCSI}, pdfauthor={Laurent PATER}}

\usepackage{geometry}
\geometry{top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm}


\newcommand{\Nn}{\mathbb{N}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Rr}{\mathbb{R}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Cc}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Kk}{\mathbb{K}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}}


\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits}
\newcommand{\llbracket}{\left[\kern-0.15em\left[}
\newcommand{\rrbracket}{\right]\kern-0.15em\right]}


\newcommand{\ch}{\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits}
\newcommand{\sh}{\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits}
\renewcommand{\tanh}{\mathop{\mathrm{th}}\nolimits}
\newcommand{\cotan}{\mathop{\mathrm{cotan}}\nolimits}
\newcommand{\Arcsin}{\mathop{\mathrm{Arcsin}}\nolimits}
\newcommand{\Arccos}{\mathop{\mathrm{Arccos}}\nolimits}
\newcommand{\Arctan}{\mathop{\mathrm{Arctan}}\nolimits}
\newcommand{\Argsh}{\mathop{\mathrm{Argsh}}\nolimits}
\newcommand{\Argch}{\mathop{\mathrm{Argch}}\nolimits}
\newcommand{\Argth}{\mathop{\mathrm{Argth}}\nolimits}
\newcommand{\pgcd}{\mathop{\mathrm{pgcd}}\nolimits} 

\setlength\parindent{0pt}
\newcommand{\pb}[2]{{\bf Problème}\ \  #2\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}}
\newcommand{\dt}{\ \text{d}t}


\newcounter{exo}
\newcommand{\enonce}[2]{\refstepcounter{exo}{\bf Exercice \arabic{exo}}\ \  #2\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}}

\newcommand{\finenonce}{\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}\bigskip}

\newcounter{qcours}
\newcommand{\qcours}[2]{{\bf Questions de cours}\ \  #2\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}}


\newcommand{\titre}[1]{
\vspace*{-8ex} \hfill \hspace*{1.5cm} 
 \vspace*{-5.7ex}\newline {\Large \bf #1} \newline 
 \rule{\linewidth}{1mm} \vspace*{3ex}}



\usepackage{graphics}
\usepackage[all]{xy}
\pagestyle{empty}


\begin{document}




\titre{DS 6 (14/12/2013) \hfill PCSI}

Vous laisserez une marge en haut sur la première page et sur le côté gauche de votre copie pour les annotations.

\medskip

Cet énoncé comporte une partie questions de cours et 1 exercice ainsi que 2 problèmes tous indépendants et dont la difficulté est croissante.

\medskip

\textbf{Justifiez} et \textbf{rédigez} toutes vos réponses : la clarté et la précision sont prises en compte dans l'évaluation.

\medskip La calculatrice est interdite. 

\bigskip





\noindent 




\qcours{0}{}

\begin{enumerate}

\item Donner, sans démonstration, la formule d'intégration par parties (on n'oubliera pas le \og Soient $f,g $ deux fonctions de classe \dots \, sur \dots \fg{})
\item Soit $I$ un intervalle de $\R$. Donner, sans démonstration, l'ensemble des solutions d'une équation différentielle d'ordre 1, d'inconnue $y$ une fonction de classe $\mathscr C^1$ sur $I$ donnée, pour tout $t \in I$, par : $$y'(t) + a(t)\,y(t) = 0.$$ On écrira $\mathscr S_I = \cdots$. Quelle hypothèse fait-on généralement sur $a$ ?
\end{enumerate}

\finenonce{}



\setcounter{exo}{0} 



\enonce{}{\textbf{: Une équation différentielle}}
Soit $I$ l'intervalle $]-1,+\infty[$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive de $x \mapsto \displaystyle \frac{1}{x+1}$ sur $I$.
\item En montrant que, pour tout $t \in I$ : $$ \frac{t}{t+1} = 1-\frac{1}{t+1},$$ déterminer une primitive de $x \mapsto \displaystyle -\frac{x}{x+1}$ sur $I$.
\item Exprimer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle homogène, d'inconnue $y$ une fonction de classe $\mathscr C^1$ sur $I$ donnée, pour tout $t \in I$ par : $$(1+t)\,y'(t) - t\,y(t) = 0.$$
\item Déterminer l'unique solution de l'équation précédente vérifiant $y(0) = 1$.
\end{enumerate}

\finenonce{}





\pb{0}{\textbf{1 : Formule de Madhava-Leibniz}}

On rappelle que la fonction tangente est définie par : $$ \tan(x) = \frac{\sin x}{\cos x}.$$

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $\tan$ est définie et dérivable sur $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ et que pour tout $x \in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ : $$ \tan'(x) = 1+ \tan^2(x).$$ Dresser le tableau de variations de $\tan$ sur $[0, \frac{\pi}{4}]$ et en déduire que pour tout $n \in \N$ et tout $x \in [0, \frac{\pi}{4}]$ : $$0\leq \tan x \leq 1 \quad \text{et} \quad 0 \leq \tan^{2n+2}(x) \leq \tan^{2n}(x).$$
\item Déterminer une primitive de $\tan^2$ sur $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ en remarquant que $\tan^2(x) = \big(1+ \tan^2(x)\big) -1$.
\item Déterminer une primitive de $\tan$ sur $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$.
\end{enumerate}
Pour la suite de l'exercice, on note, pour tout $n \in \N$ : $$ I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2n}(t) \dt.$$
\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{3}

\item Calculer $I_0$ et $I_1$.
\item\`A l'aide de la question 1., montrer que pour tout $n \in \N$ : $I_{n+1} \leq I_n$ et : $$ 0\leq I_n \leq I_n + I_{n+1}.$$
\item Soit $n \in \N$. En faisant le changement de variable $u = \tan t$, montrer que $$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2n}(t)\,\big(1+\tan^2(t)\big) \dt = \displaystyle \frac{1}{2n+1}$$ puis que $I_{n+1} + I_n = \displaystyle \frac{1}{2n+1}$ 
\item Déduire de la question précédente et de la question 5. que $\lim \limits_{n \to \infty} I_n = 0.$
\item Montrer, par récurrence sur $n \in \N^*$, que : $$ (-1)^n \, I_n = \displaystyle \frac{\pi}{4} + \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{2k-1}.$$
\item Conclure que $\lim \limits_{n \to \infty} \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{2k-1} = -\frac{\pi}{4}.$
\end{enumerate}

\bigskip

\textit{C'est la première formule qui a permis d'obtenir au $XV^e$ siècle 11 décimales de $\pi$.}

\finenonce{}





\pb{0}{\textbf{2 : Trajectoire de la Lune et lois de Képler}}

On considère la situation d'un corps céleste $L$ mobile soumis à la force de gravitation d'un autre corps $T$ fixe dans le référentiel considéré dont la vitesse et la position initiales sont données par le dessin :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[domain=0.1:7,scale=1]
\draw[color=white] (-1,-0.5) rectangle (2,1.5);
    
    \draw[->] (-0.1,0) -- (5,0) node[right] {$x(t)$};
    \draw[->] (0,0) -- (0,1.5) node[above] {$y(t)$};
    \draw[->] (3,0) -- (3,1) node[right]{$\vec v_0$};
    \draw [<->] (0,-0.1) -- (3,-0.1) node[midway,below]{$r$};
    \draw (0,0) circle (1pt) node[left]{$T$};
    \draw (3,0) circle (1pt) node[left,below]{$L$};
    
    
    
    
    
    
\end{tikzpicture}
\end{center}

On donne dans la suite les équations différentielles qui régissent ce système et on souhaite connaître la trajectoire de $L$. 

\bigskip

\textbf{Cas général}

Dans la suite, on suppose que $r$ ne s'annule pas sur $\R$ et que $x$ et $y$ sont des solutions du système $\mathscr E$ qui s'écrit : $$ \mathscr E \left\{ \begin{array}{c}
x''(t) =\displaystyle \frac{-1}{r(t)^3}\, x(t)\\*[1em]
y''(t) = \displaystyle\frac{-1}{r(t)^3}\, y(t)
\end{array}\right.$$ où $$r(t) = \sqrt{x(t)^2 + y(t)^2}, \quad y(0) = 0 \quad \text{et} \quad x'(0) = 0.$$ Ce système vient du principe fondamental de la dynamique et des conditions initiales.

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{0}
\item Montrer, à l'aide du système $\mathscr E$ que, pour tout $t \in \R$ : $y''(t) \, x(t) - x''(t)\,y(t) = 0.$ 
\item En effectuant des intégrations par parties, déduire de la question précédente qu'il existe une constante $C$ telle que, pour tout $t \in \R$ : $$ y'(t)\,x(t) - y(t)\,x'(t) = C.$$
\item Montrer, à l'aide de l'expression de $r$ que, sur $\R$ : $$\left(\frac{y}{r}\right)' = \frac{x}{r^3} (y'\,x - y\,x') = -C\,x'' \quad \text{et} \quad \left(\frac{x}{r}\right)' = C\,y''.$$
\item En déduire qu'il existe des constantes $A,B \in \R$ telles que pour tout $t \in \R$ : $$\displaystyle \frac{y(t)}{r(t)} = -C \, x'(t) + A \quad \text{et} \quad \displaystyle \frac{x(t)}{r(t)} = C \, y'(t) + B.$$
\item Montrer à l'aide des conditions initiales que $A = 0$.
\item Conclure que pour tout $t\in\R$ : $$ \sqrt{x(t)^2 + y(t)^2} = r(t) = C^2 + B y(t).$$
\end{enumerate}

\textbf{Trajectoire circulaire}

\smallskip

Dans le cas où $T$ est la terre et $L$ la Lune, on peut mesurer physiquement $B$ qui est très proche de $0$. On fera l'hypothèse que $B = 0$ dans les trois questions suivantes.

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{6}
\item Montrer que $x$ et $y$ vérifient les équations différentielles, pour tout $t \in \R$ : $$x''(t) + \frac{1}{C^6} \, x(t) = 0 \quad \text{et} \quad y''(t) + \frac{1}{C^6} \, y(t) = 0.$$
\item Résoudre ces équations différentielles (on rappelle que $y(0) = 0$ et $x'(0) = 0$).
\item Montrer que la trajectoire de la Lune est un cercle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Trajectoire elliptique} 

\smallskip

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{9}
\item Montrer que même si $B \neq0$, la trajectoire du corps céleste $L$ est bornée.
\end{enumerate}

\finenonce{}



\end{document}

