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\newcommand{\finenonce}{\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}\bigskip}

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\vspace*{-8ex} \hfill \hspace*{1.5cm} 
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\begin{document}




\titre{DS 7 (17/01/2014) \hfill PCSI}

Vous laisserez une marge en haut sur la première page et sur le côté gauche de votre copie pour les annotations.

\medskip

Cet énoncé comporte une partie questions de cours et 2 exercices ainsi que 2 problèmes tous indépendants. On rappelle que pour la majorité de la classe, les questions de cours, les deux exercices et le problème 1 sont à traiter. Pour les élèves à qui il a été précisé sur la du dernier DM de faire le DS dans une version plus difficile : les questions de cours, le problème 1 et le problème 2 sont à traiter.

\medskip

\textbf{Justifiez} et \textbf{rédigez} toutes vos réponses : la clarté et la précision sont prises en compte dans l'évaluation.

\medskip La calculatrice est interdite. 

\bigskip





\noindent 




\qcours{0}{}
\begin{enumerate}
\item Si $(u_n)_{n\in \N}$ est une suite qui converge vers $0$, donner sans démonstration un équivalent de $\sin(u_n)$ et de~$\ln(1+u_n)$.
\item Donner la définition de deux suites adjacentes.
\end{enumerate}

\finenonce{}



\setcounter{exo}{0} 



\enonce{}{\textbf{: \'Equivalents}}
Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite \textbf{décroissante} et qui converge vers $0$. On suppose que $$ u_{n-1} + u_n \underset{ \overset { n \rightarrow +\infty } {} } {\sim}\frac{1}{n}.$$
\begin{enumerate}
\item Quelle est la limite de la suite $(a_n)_{n \in \N^*}$ donnée, pour $n \in \N^*$ par $a_n = n(u_{n-1}+u_n)$ ? Quelle est la limite de la suite $(a_{n+1})_{n \in \N^*}$ ?
\item Justifier que pour tout $n \in \N^*$, $u_{n+1} \leq u_n \leq u_{n-1}$ puis que $$ n(u_{n+1} + u_n) \leq n(2 u_n) \leq n(u_{n-1}+u_n).$$
\item En déduire que pour $n \in \N^*$  : $ \displaystyle \frac{n}{n+1} a_{n+1} \leq 2n\, u_n \leq a_n.$
\item Conclure quant à la limite de $(2n\, u_n)_{n \in \N}$ puis que : $$ u_n \underset{ \overset { n \rightarrow +\infty } {} } {\sim}\frac{1}{2n}.$$ 
\end{enumerate}

\finenonce{}





\enonce{}{\textbf{: Suite implicite}}
On rappelle que la fonction tangente est définie par : $$ \tan(x) = \frac{\sin x}{\cos x}.$$

Soit $n \in \N$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $\tan$ est définie et dérivable sur $\R \setminus \left(\frac{\pi}{2} + \pi \Z \right)$, $\pi$-périodique et que pour tout \linebreak[4] ${x \in ]-\frac{\pi}{2}+n\pi,\frac{\pi}{2}+n\pi[}$ : $$ \tan'(x) = 1+ \tan^2(x).$$
\item Préciser les limites de $\tan$ en $\left(-\frac{\pi}{2}+n\pi\right)^+$ et $\left(\frac{\pi}{2}+n\pi\right)^-$ (remarquer que par $\pi$-périodicité, il suffit d'étudier les limites en $\left(-\frac{\pi}{2}\right)^+$ et $\left(\frac{\pi}{2}\right)^-$).
\item \'Etablir le tableau des variations sur $]-\frac{\pi}{2}+n\pi,\frac{\pi}{2}+n\pi[$, en justifiant les limites aux bornes, de la fonction $$ f : x \mapsto \tan(x) - x.$$
\item En précisant le théorème et les hypothèses utilisées, montrer qu'il existe un unique réel $x_n$ dans l'intervalle~$]-\frac{\pi}{2}+n\pi,\frac{\pi}{2}+n\pi[$ tel que $$\tan(x_n) - x_n = 0.$$
\item Justifier que $-\frac{\pi}{2}+n\pi< x_n<\frac{\pi}{2}+n\pi$.
\end{enumerate}

On étudie désormais la suite $(x_n)_{n \in \N}$.
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{4}
\item Montrer avec l'encadrement précédent que $(x_n)_{n \in \N}$ est strictement croissante.
\item \`A nouveau avec l'encadrement précédent, montrer que $(x_n)_{n \in \N}$ diverge vers $+\infty$.


\end{enumerate}

\finenonce{}





\pb{0}{\textbf{1 : Moyenne géométrique}}

On considère deux suites $(a_n)_{n \in \N}$ et $(b_n)_{n \in \N}$ définies par récurrence par $$a_0 = a >0, \quad b_0 = b >0 \quad \text{avec} \quad b < a$$ puis, pour tout $n \in \N$ : $$ a_{n+1} = \displaystyle \frac{a_n + b_n}{2} \quad \text{et} \quad b_{n+1} = \frac{2\,a_nb_n}{a_n+b_n}.$$

\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $a_n >0$ et $b_n >0$. En déduire que $(a_n)_{n \in \N}$ et $(b_n)_{n \in \N}$ sont bien définies.
\item Montrer, pour tout $n \in \N^*$, que $$a_n - b_n = \frac{a_{n-1} + b_{n-1}}{2} - \frac{2 a_{n-1}\,b_{n-1}}{a_{n-1} + b_{n-1}} = \frac{(a_{n-1}-b_{n-1})^2}{2(a_{n-1} + b_{n-1})}.$$
\item En déduire que pour tout $n \in \N$, $a_n \geq b_n$ (on n'oubliera pas que dans la question précédente : $n \in \N^*$).
\item \`A l'aide des définitions des suites $(a_n)_{n \in \N}$ et $(b_n)_{n \in \N}$, montrer que pour tout $n \in \N^*$ : $$a_{n+1}-a_n = \frac{b_n - a_n}{2} \quad \text{et} \quad b_{n+1} - b_n = \frac{b_n(a_n - b_n)}{a_n + b_n}.$$
\item Avec les question 3 et 4, montrer que $(a_n)_{n \in \N}$ est décroissante et $(b_n)_{n \in \N}$ croissante.
\item Quel est le plus grand terme de la suite $(a_n)_{n \in \N}$ et le plus petit terme de la suite $(b_n)_{n \in \N}$ ?
\item En déduire que pour tout $n \in \N$, $$ b_0 \leq b_n \leq a_n \leq a_0.$$ 
\item Donner un minorant de $(a_n)_{n \in \N}$ et un majorant $(b_n)_{n \in \N}$.
\item En citant précisément le théorème utilisé et à l'aide des questions précédentes, montrer que $(a_n)_{n \in \N}$ et~$(b_n)_{n \in \N}$ sont convergentes. \textbf{On note $\ell$ la limite de $(a_n)_{n \in \N}$ et $\ell'$ celle $(b_n)_{n \in \N}$}.
\item Justifier que la limite de $(a_{n+1})_{n \in \N}$ est $\ell$.
\item En passant à la limite dans l'égalité $a_{n+1} = \displaystyle \frac{a_n + b_n}{2}$, montrer que $\ell = \ell'$. Les suites $(a_n)_{n \in \N}$ et $(b_n)_{n \in \N}$ sont-elles adjacentes ?
\item Montrer par récurrence que pour tout $n\in \N$ : $a_n\,b_n = ab$. En déduire que $\ell = \sqrt{ab}$.
\item Montrer, avec la question précédente que pour tout $n \in \N$ : $$a_{n+1} - \ell = \displaystyle \frac{(a_n-\ell)^2}{2\,a_n} \quad \text{et} \quad a_{n+1} + \ell = \displaystyle \frac{(a_n+\ell)^2}{2\,a_n}. $$
\item En déduire un équivalent de $(a_n-\ell)_{n \in \N}$.
\end{enumerate}

\finenonce{}



\newpage



\pb{0}{\textbf{2 : Comparaison série intégrale}}

Lorsque $(u_n)_{n\in\N^*}$ est une suite, on appelle \textbf{série} associée à $(u_n)_{n\in\N^*}$, la suite $(v_n)_{n\in\N^*}$ donnée, pour $n \in \N^*$ par : $$ v_n = \sum_{k=1}^n u_k.$$ On utilisera ces notations dans la suite et on supposera dans la suite que $(u_n)_{n\in\N^*}$ est \textbf{positive}.

\textbf{Un premier exemple :}

Dans cette partie, on étudie la série harmonique, qui est la série associée à $\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\N^*}$, pour $n \in \N^*$  : $$\displaystyle v_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.$$

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{0}
\item En remarquant que pour tout $k \in \N$, $k \geq 2$ et $x \in [k-1,k]$ : $\displaystyle \frac{1}{x} \geq \frac{1}{k},$ montrer que $$ \int_{k-1}^k \frac{\text{d}x}{x} \geq \frac{1}{k} \geq \int_{k}^{k+1} \frac{\text{d}x}{x}.$$ Interpréter graphiquement cette inégalité.
\item En déduire que pour tout $n \in \N$, $n \geq 2$ : $$ \ln n \geq \sum_{k=2}^n \frac{1}{k} \geq \ln(n+1) - \ln 2$$ et donner un encadrement de $v_n$.
\item Déterminer un équivalent de $(v_n)_{n\in \N^*}$ (on montrera précisément que $\ln n \underset{ \overset { n \rightarrow +\infty } {} } {\sim}\ln(n+1)$).
\end{enumerate}

\textbf{Cas général}

\smallskip

Dans cette partie, on se place dans la situation suivante : soit $f$ une fonction définie, continue \textbf{décroissante et positive} sur $[1,+\infty[$. On suppose que pour tout $n \in \N^*$ : $u_n = f(n)$ et que $v_n$ est la série associée.

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{3}
\item Montrer que pour tout $k \in \N$, $k \geq 2$ et $x \in [k-1,k]$ : $u_{k-1} \geq f(x) \geq u_k$.
\item En déduire, comme dans la partie précédente, que pour tout $n \in \N^*$ : $$ u_1 + \int_1^n f(x) \ \text{d}x \geq v_n \geq \int_1^n f(x) \ \text{d}x.$$
\item En déduire un critère simple pour que $(v_n)_{n \in \N^*}$ converge.
\end{enumerate}

On introduit, pour $n \in \N^*$, $$ \Delta_n = u_n - \int_{n}^{n+1} f(x) \ \text{d}x.$$

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{6}
\item Montrer que pour tout $k \in \N^*$ : $0 \leq \Delta_k \leq u_k - u_{k+1}$ et montrer que $\displaystyle \left( \sum_{k=1}^n \Delta_k\right)_{n \in \N^*}$ est croissante. 
\item En déduire que $\displaystyle \left( \sum_{k=1}^n \Delta_k\right)_{n \in \N^*}$ est convergente : on notera $\Delta$ sa limite.
\item Conclure que $$ v_n = \int_1^n f(x) \ \text{d}x + \Delta + \underset{ \overset { n \rightarrow +\infty } {} } {o}(1).$$
\item Si $(v_n)_{n \in \N^*}$, la série associée à $(u_n)_{n \in \N^*}$, converge, montrer que $(u_n)_{n \in \N^*}$ est convergente. Quelle est la limite de $(u_n)_{n \in \N^*}$ dans ce cas ?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Développement de la série harmonique}
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{10}
\item Montrer qu'il existe une constante $\gamma \in \R^+$ telle que :  $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n}+\underset{ \overset { n \rightarrow +\infty } {} } {o}\left(\frac{1}{n}\right).$$

Indication : pour le développement jusqu'à $\gamma$, on pourra appliquer la partie précédente. Pour le terme suivant, on étudiera plus précisément $(\Delta_n)_{n \in \N^*}.$
\end{enumerate}
\finenonce{}

\end{document}

