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\newcommand{\finenonce}{\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}\bigskip}

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\begin{document}




\titre{DS 8 (15/02/2014) \hfill PCSI}

Vous laisserez une marge en haut sur la première page et sur le côté gauche de votre copie pour les annotations.

\medskip

Cet énoncé comporte une partie questions de cours et 2 exercices ainsi que 2 problèmes tous indépendants. On rappelle que pour la majorité de la classe, les questions de cours, les deux exercices et le problème 1 sont à traiter. Pour les élèves à qui il a été précisé de faire le DS dans une version plus difficile : les questions de cours, le problème 1 et le problème 2 sont à traiter.

\medskip

\textbf{Justifiez} et \textbf{rédigez} toutes vos réponses : la clarté et la précision sont prises en compte dans l'évaluation.

\medskip La calculatrice est interdite. 

\bigskip





\noindent 

\qcours{0}{}
\begin{enumerate}
\item Donner, sans démonstration, le développement limité à l'ordre 3 de la fonction $\exp$ en $0$.
\item \'Enoncer, sans démonstration, le théorème donnant l'égalité des accroissements finis (avec ses hypothèses précises).
\end{enumerate}

\finenonce

\setcounter{exo}{0} 

\enonce{}{\textbf{: Développements limités et étude locale} (adapté exercice oral CCP PC)}

On considère la fonction $f$ donnée par $$ f(x) = \displaystyle \frac{e^x - 1}{x}.$$

\begin{enumerate}
\item Justifier que $f$ est définie et dérivable sur $\R^*$.
\item Déterminer un développement limité de $f$ à l'ordre $2$ en $0$.
\item En déduire que $f$ admet un prolongement par continuité sur $\R$ qu'on notera à nouveau $f$ (on précisera la valeur de $f(0)$).
\item Montrer que $f$ est dérivable en $0$ et donner une équation de sa tangente en $0$. Quelle est la position de la courbe représentative de $f$ par rapport à cette tangente au voisinage de $0$ ?
\end{enumerate}

On considère maintenant la fonction $g$ donnée par $$ g(x) = \displaystyle \frac{x}{e^x-1}.$$

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{4}
\item Déterminer un développement limité de $g$ à l'ordre 2 en 0 et montrer que $g$ admet un prolongement par continuité sur $\R$ et que ce prolongement, à nouveau noté $g$, est dérivable sur $\R$. Que vaut $g'(0)$ ?
\item Démontrer que $g$ est une bijection de $\R$ dans un intervalle que l'on précisera.
\end{enumerate}

\finenonce

\enonce{}{\textbf{: Une équation fonctionnelle} (adapté de concours ENAC)}

Soient $a,b \in \R$ avec $|a|<1$. Le but de l'exercice est de déterminer l'ensemble $\mathscr E$ des fonctions $f$, définies et continues sur $\R$ qui vérifient pour tout réel $x$ : \begin{equation}
f(a\,x+b) = f(x).\label{E}\tag{E}
\end{equation}

\begin{enumerate}
\item Montrer que les fonctions constantes sur $\R$ sont des éléments de $\mathscr E$.
\end{enumerate}

On considère réciproquement une fonction $f \in \mathscr E$. Soit $x \in \R$. On introduit la suite $(u_n)_{n\in\N}$ définie par récurrence par $u_0 = x$ et pour tout $n \in \N$ : $$u_{n+1} = a\,u_n+b$$ et on pose $r = \displaystyle \frac{b}{1-a}$.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
\item Montrer, par récurrence, que pour tout $n \in \N$, $f(u_n) = f(u_0) = f(x)$ (remplacer $x$ par $u_n$ dans \eqref{E}).
\item On introduit la suite $(v_n)_{n\in\N}$ : pour tout $n \in \N$, $v_n = u_n -r$. Montrer, en utilisant la définition de $(u_n)_{n\in\N}$, que pour tout $n \in \N$ : $$ v_{n+1} = a\,v_n.$$
\item En déduire une expression simple de $(v_n)_{n\in\N}$ puis que pour tout $n \in \N$ : $$ u_n = a^n\, (u_0 - r) + r.$$
\item Montrer que $(u_n)_{n\in\N}$ est convergente exprimer sa limite en fonction de $a$ et $b$.
\item Justifier que la suite $(f(u_n))_{n\in\N}$ est convergente et que $\lim \limits_{n \to +\infty} f(u_n) = f(\frac{b}{1-a})$.
\item Conclure que $f$ est constante.
\end{enumerate}

Dans la suite, on conserve les hypothèses pour l'ensemble $\mathscr E$ mais on suppose que $|a| \geq 1$.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{7}
\item Si $a = 1$ et que $b \neq 0$, quel nom donne-t-on aux fonctions satisfaisant l'équation \eqref{E} ? 
\item Si $|a| \neq 1$ et que $f\in \mathscr E$ montrer pour tout $x \in \R$ que $f(\frac{1}{a} x - \frac{b}{a}) = f(x)$ puis conclure avec la partie précédente que $f$ est constante.
\item Que dire de l'ensemble $\mathscr E$ si $a = -1$ ?
\end{enumerate}

\finenonce

\pb{0}{\textbf{1 : Fonctions convexes}}

Ce problème étudie des fonctions particulières dont la courbe représentative délimite un domaine convexe.

\bigskip

\textbf{Exemple de la fonction exponentielle :}

Soient $a,b \in \R$ avec $a < b$. On veut montrer que pour tout $t\in[0,1]$ : $$ e^{t\,a + (1-t)\, b} \leq t\,e^a + (1-t)\, e^b.$$ on pose pour tout $t \in [0,1]$, $g(t) =  t\,e^a + (1-t)\, e^b - e^{t\,a + (1-t)\, b}$.

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{0}
\item Prouver que pour tout $x \in \R^*$, $e^x > 1+x$ (on fera une étude rapide de la fonction $x \mapsto e^x - 1-x$).
\item Justifier $g$ est dérivable deux fois sur $[0,1]$ et que pour tout $t\in[0,1]$, $g'(t) = e^a - e^b - (a-b) \,  e^{t\,a + (1-t)\, b}$ et $g''(t) = -(a-b)^2 \,  e^{t\,a + (1-t)\, b}$.
\item En déduire que $g'$ est strictement décroissante sur $[0,1]$.
\item Montrer, avec la question 1 que $$ g'(0) = e^b\big(e^{a-b} - 1 -(a-b)\big) >0.$$
\item Montrer de même que $g'(1) <0$.
\item Justifier, en citant le théorème utilisé, qu'il existe un unique réel $\alpha \in [0,1]$ tel que $g'(\alpha) = 0$.
\item Construire un tableau sur $[0,1]$ faisant apparaître $\alpha$, le signe de $g''$, les variations de $g'$, le signe de $g'$ et les variations de $g$.
\item Calculer $g(0)$ et $g(1)$.
\item Montrer que $g$ est positive sur $[0,1]$ et conclure.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Fonctions convexes et inégalité des trois pentes}

Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $f$ une fonction dérivable sur $I$. On dit que $f$ est une \textbf{fonction convexe} sur $I$ si pour tous $a,b \in I$ et tout $t \in [0,1]$, $$ f\big((1-t)\,a+t\,b\big) \leq (1-t)\,f(a) + t\,f(b).$$ 

Dans les questions 10 à 13 on considère une fonction convexe $f$ et $x,y,z \in I$ avec $x < y < z$.

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{9}
\item Montrer que $\displaystyle t = \frac{y-x}{z-x} \in [0,1]$ et que $y = (1-t) \, x + t \, z$.
\item Montrer, avec la définition d'une fonction convexe, que $f(y) \leq (1-t)\, f(x) + t\,f(z)$.
\item En déduire, avec la valeur de $t$, que $$ \frac{f(y) - f(x)}{y-x} \leq \frac{f(z) - f(x)}{z-x}.$$
\item Montrer de même que $$ \frac{f(z) - f(x)}{z-x} \leq \frac{f(z) - f(y)}{z-y}.$$ 
\end{enumerate}

Dans les questions 14 à 16 on suppose que pour tous  $x,y,z \in I$ avec $x < y < z$, on a : $$ \frac{f(y) - f(x)}{y-x} \leq \frac{f(z) - f(x)}{z-x} \leq \frac{f(z) - f(y)}{z-y}$$ et on montre que $f$ est convexe.

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{13}
\item Soient $a,b \in I$ avec $a < b$ et $t \in ]0,1[$. On pose $y = (1-t)\,a + t\,b$. Montrer que $a < y < b$.
\item En prenant $x = a$ et $z = b$, montrer que $\displaystyle f(y) - f(a) \leq t\, \big( f(b) - f(a)\big)$.
\item En déduire que $f$ est convexe (on n'oubliera pas les cas $t = 0$ ou $1$).
\end{enumerate}

On a donc obtenu le fait que $f$ est convexe si et seulement si pour tous  $x,y,z \in I$ avec $x < y < z$, on a : $$ \frac{f(y) - f(x)}{y-x} \leq \frac{f(z) - f(x)}{z-x} \leq \frac{f(z) - f(y)}{z-y}.$$

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{16}
\item Représenter sur un graphique une fonction convexe (par exemple la fonction exponentielle) et faire figurer des segments dont les pentes sont les trois quantités de l'inégalité précédente. Expliquer le nom d'\og inégalité des trois pentes \fg{}. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\'Equivalence avec la croissance de $f$ :}

Dans cette partie on montre que $f$ est convexe si et seulement si $f'$ est croissante.

Dans les question 18 à 21, on suppose que $f$ est convexe et on montre que $f'$ est croissante. On considère $x_0, y_0 \in I$ avec $x_0 < y_0$.

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{17}
\item Quelle est la limite de $\displaystyle \frac{f(x_0) - f(x)}{x_0-x}$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ ?
\item Montrer que si $x,y$ vérifient $x_0<x<y<y_0$ alors $$\frac{f(x_0) - f(x)}{x_0-x} \leq \frac{f(y_0) - f(y)}{y_0-y}.$$
\item En déduire que $f'(x_0) \leq f'(y_0)$.
\item Conclure que $f'$ est croissante.
\end{enumerate}

Dans cette question on suppose que $f'$ est croissante et on montre que $f$ est convexe.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{21}
\item Soient $x,y,z \in I$ avec $x < y < z$. Justifier, en citant précisément le théorème utilisé et ses hypothèses, qu'il existe $c \in ]x,y[$ tel que $$\frac{f(y) - f(x)}{y-x} = f'(c).$$
\item En utilisant l'équivalente de la partie précédente avec l'inégalité des trois pentes, montrer que $f$ est convexe.
\end{enumerate}

On a donc obtenu l'équivalence : $f$ est convexe si et seulement si $f'$ est croissante.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{23}
\item En déduire une nouvelle démonstration du fait que $\exp$ est convexe sur $\R$.
\item Montrer que pour tout $x \in [0,\frac{\pi}{2}]$, $\sin x \geq \frac{2}{\pi}\,x$.
\end{enumerate}

\finenonce

\newpage

\pb{0}{\textbf{2 : Formule de Taylor avec reste intégral et fonction de Fresnel} (adaptation de Mines PSI)}

Ce problème justifie d'abord le théorème de primitivation d'un développement limité pour l'ordre 2 puis on applique ceci à une fonction utilisée pour étudier la diffraction de la lumière.

\bigskip

\textbf{Formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre 3 :}

Soit $g$ une fonction de classe $\mathscr C^3$ sur un intervalle $[a,b]$ avec $a < b$.

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{0}
\item Justifier que $\displaystyle g(b) - g(a) = \int_a^b g'(t) \dt$.
\item Montrer, en utilisant une intégration par parties et la question précédente que : $$\displaystyle \int_a^b (b-t)\,g''(t) \dt = -(b-a)\,g'(a) + \int_a^b g'(t) \dt = -(b-a)\,g'(a) -g(a) + g(b).$$
\item Montrer en procédant comme dans la question précédente que : $$ g(b) = g(a) + (b-a)\,g'(a) + \frac{(b-a)^2}{2}\,g''(a) + \int_a^b \frac{(b-t)^2}{2}\,g'''(t) \dt.$$
\item Justifier que $g'''$ est bornée sur $[a,b]$. On notera $M =\sup \limits_{t \in [a,b]} |g'''(t)|.$
\item On rappelle que l'intégrale d'une fonction positive est positive. Montrer que : $$ \left|\int_a^b \frac{(b-t)^2}{2}\,g'''(t) \dt\right| \leq \int_a^b \frac{(b-t)^2}{2}\,|g'''(t)| \dt \leq \frac{M}{6} (b-a)^3.$$
\item En déduire que $$\int_a^x \frac{(x-t)^2}{2}\,g'''(t) \dt = \displaystyle \underset{ { x \rightarrow a } {} } {o}\left( (x-a)^2\right).$$
\item Conclure que $\displaystyle g(x) = g(a) + (x-a)\,g'(a) + \frac{(x-a)^2}{2}\,g''(a) + \displaystyle \underset{ { x \rightarrow a } {} } {o}\left( (x-a)^2\right)$.
\item Montrer que si $F$ est une primitive d'une fonction $f$ de classe $\mathscr C^2$ au voisinage d'un point $a$ de $\R$ alors $$F(x) = F(a) + (x-a)\,f(a) + \frac{(x-a)^2}{2}\,f'(a) + \displaystyle \underset{ { x \rightarrow a } {} } {o}\left( (x-a)^2\right)$$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\'Etude locale de la fonction de Fresnel :}

Dans cette partie, on note $f$, la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par $f(x) = \cos(\sqrt{x})$. On notera $F$ l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $0$ : pour tout $x \in [0,+\infty[$, $$ F(x) = \int_0^x f(t) \dt.$$

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{8}
\item Justifier $f$ est de classe $\mathscr C^\infty$ sur $]0,+\infty[$. Sur quel intervalle $f$ est-elle continue ?
\item Rappeler un équivalent de $\cos(y) -1$ lorsque $y$ est au voisinage de $0$ et en déduire que $$ f(x) = 1-\frac{x}{2} + \displaystyle \underset{ { x \rightarrow 0 } {} } {o}\left( x\right).$$
\item En déduire que $f$ est dérivable en $0$ et donner une équation de sa tangente en $0$. Que vaut $f'(0)$ ?
\item En effectuant un développement limité de $f$ à l'ordre 2 en $0$, étudier la position de la courbe représentative de $f$ par rapport à cette tangente ou voisinage de $0$.
\item Montrer que $f$ est de classe $\mathscr C^2$ sur $[0,+\infty[$.
\item En déduire que $$ F(x) = x-\frac{x^2}{4} + \displaystyle \underset{ { x \rightarrow 0 } {} } {o}\left( x^2\right)$$ et donner un équivalent de $x \mapsto F(x) - x$ en $0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Dérivées successives et régularité de la fonction de Fresnel :}

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{14}
\item Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N^*$, il existe deux polynômes $P_n$ et $Q_n$, tels que pour tout $x \in ]0,+\infty[$ : $$ f^{(n)}(x) = \frac{\cos(\sqrt{x})}{2^n x^{n-1}} \, P_n(x) + \frac{\sin(\sqrt{x})}{2^n x^{n-1} \sqrt{x}} \, Q_n(x).$$
\item Montrer que pour tout $n \in \N^*$, la fonction $x \mapsto x^{n-1}\,f^{(n)}(x)$ admet un développement limité à l'ordre $n-1$ (on ne cherchera pas à le calculer).
\item En déduire que pour tout $n \in \N^*$, il existe des réels $a_0, \dots,a_n$ tels que $$ f^{(n+1)}(x) = \frac{a_n}{x^n} + \cdots + \frac{a_1}{x} + a_0 + \underset{ { x \rightarrow 0 } {} } {o}\left( 1\right).$$
\item Conclure qu'il existe $\ell \in \R$ tel que pour tout $n \in \N^*$ : $$ f^{(n)}(x) = -\frac{a_n}{(n-1)\,x^{n-1}} - \cdots - \frac{a_2}{x} + a_1 \ln x + \ell + \underset{ { x \rightarrow 0 } {} } {o}\left( 1\right).$$
\item Montrer que $f$ est de classe $\mathscr C^\infty$ sur $[0,+\infty[$. Qu'en est-il de $F$ ?
\item Montrer que les polynômes $P_n$ et $Q_n$ sont à coefficients entiers.
\item Déterminer le degré et le coefficient dominant de $P_n$ et $Q_n$.
\end{enumerate}

\finenonce

\end{document}



\end{document}

