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\newcommand{\finenonce}{\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}\bigskip}

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\begin{document}




\titre{DS 9 (29/03/2014) \hfill PCSI}

Vous laisserez une marge en haut sur la première page et sur le côté gauche de votre copie pour les annotations.

\medskip

Cet énoncé comporte une partie questions de cours, 2 exercices et 2 problèmes tous indépendants. On rappelle que pour la majorité de la classe, les questions de cours, les deux exercices et le problème 1 sont à traiter. Pour les élèves à qui il a été précisé de faire le DS dans une version plus difficile : les questions de cours, le problème~1 et le problème 2 sont à traiter.

\medskip

\textbf{Justifiez} et \textbf{rédigez} toutes vos réponses : la clarté et la précision sont prises en compte dans l'évaluation.

\medskip La calculatrice est interdite. 

\bigskip





\noindent 




\qcours{0}{}
\begin{enumerate}
\item On considère une famille libre $(e_1,\dots,e_p)$ d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$. Donner deux critères différents pour que cette famille soit une base de $E$.
\item Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le noyau d'une application linéaire $f$ d'un espace vectoriel $E$ dans un espace vectoriel~$F$ pour que $f$ soit injective.
\end{enumerate}

\finenonce{}



\setcounter{exo}{0} 



\enonce{}{\textbf{: Une décomposition de $\R^3$} (adapté concours e3a PC)}

On se place dans le $\R$-espace vectoriel $\R^3$ et on considère les ensembles : $$ F = \left\{ (x,y,z)\in\R^3 \ | \ x-y+3\,z = 0\right\} \quad \text{et} \quad  G = \left\{ (x,y,z)\in\R^3 \ | \ y-z = 0, \ 2\,x+z=0\right\}.$$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\R^3$.
\item Montrer que $u = (1,1,0)$ et $v= (-3,0,1)$ appartiennent à $F$. En déduire que $\Vect(u,v) \subset F$.
\item Montrer que $(u,v)$ est libre.
\item Montrer réciproquement que $F \subset \Vect(u,v)$ (on pourra résoudre le système : $x-y+3\,z = 0$).
\item En suivant par exemple la démarche des trois questions précédentes, montrer que $G = \Vect(w)$ où $${w = ({\textstyle -\frac{1}{2}},1,1)}.$$
\item Déterminer les dimensions de $F$ et de $G$.
\item Montrer que $F\cap G = \{ (0,0,0)\}$.
\item Conclure que $\R^3 = F \oplus G$.
\end{enumerate}

On considère l'application $$ \begin{array}{rrcl}
\varphi :& \R^3 &\longrightarrow& \R \\
     &(x,y,z) &\longmapsto& x-y+3\,z
\end{array}.$$

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{8}
\item Montrer que $\varphi$ est une application linéaire de $\R^3$ dans $\R$, que $w \notin \ker(\varphi)$ et que $$ F = \ker(\varphi).$$
\end{enumerate}

\textit{On peut montrer de façon générale que tout plan de $\R^3$ est le noyau d'une application linéaire $\varphi$ de $\R^3$ dans $\R$ et qu'on peut décomposer $\R^3$ sous la forme $\R^3 = \ker(\varphi) \oplus \Vect(w)$ où $w \notin \ker(\varphi)$.}

\finenonce{}





\enonce{}{\textbf{: Une symétrie vectorielle} (adapté oral CCP PSI)}

On considère le $\R$-espace vectoriel $\R^3$ et l'application $$ \begin{array}{rrcl}
S :& \R^3 &\longrightarrow& \R^3 \\
     & (x,y,z) &\longmapsto& \left(\displaystyle\frac{x-2\,y-2\,z}{3},\frac{-2\,x+y-2\,z}{3} , \frac{-2\,x-2\,y+z}{3}\right)
\end{array}.$$ On note $e_1 = (1,1,1)$, $e_2 = (1,-1,0)$ et $e_3 = (0,1,-1)$ des vecteurs de $\R^3$. On rappelle que l'identité de $\R^3$ est l'application $Id_{\R^3}$ qui vérifie pour tout $(x,y,z) \in \R^3$ : $$ Id_{\R^3}\big( (x,y,z) \big) = (x,y,z).$$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $(e_1,e_2,e_3)$ est une base de $\R^3$.
\item Montrer que $S(e_1) = -e_1$, $S(e_2) = e_2$ et $S(e_3) = e_3$.
\item En déduire que $S^2(e_i) = e_i$ pour $i=1,2,3$.
\item Soit $e \in \R^3$. Justifier qu'il existe $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \in \R$ tels que : $$ e = \lambda_1\,e_1 + \lambda_2 \,e_2 + \lambda_3 \, e_3.$$
\item Justifier que $S(e) = \lambda_1 \,S(e_1) + \lambda_2 \,S(e_2) + \lambda_3 \,S(e_3)$ et que $S^2(e) = \lambda_1 \,S^2(e_1) + \lambda_2 \,S^2(e_2) + \lambda_3 \,S^2(e_3)$.
\item Conclure que $S^2(e) = e$ puis que $S \circ S = Id_{\R^3}$.
\end{enumerate}

On pose $\psi = S - Id_{\R^3}$.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{6}
\item Montrer que pour tout $(x,y,z)\in\R^3$, $\psi\big((x,y,z) \big) = -\frac{2}{3} (x+y+z,x+y+z,x+y+z)$.
\item En résolvant le système $x+y+z = 0$, montrer que $(e_2,e_3)$ est une base de $\ker(\psi)$. En déduire la dimension de $\ker(\psi)$.
\item Montrer que $(e_1)$ est une base de $\ker(S+Id_{\R^3})$.
\item Montrer que $\R^3 = \ker(S+Id_{\R^3}) \oplus \ker(S-Id_{\R^3})$.
\end{enumerate}

\textit{Géométriquement, cet exercice signifie que $S$ est la symétrie par rapport au plan d'équation $x+y+z = 0$ qui n'est autre que le noyau de $S-Id_{\R^3}$.}

\finenonce{}





\pb{0}{\textbf{1 : Application $\Delta$ sur les polyn\^omes}}

Ce problème étudie une application qui transforme des sommes complexes à déterminer en des calculs plus simples. On rappelle que si $P(X)$ est un polynôme, le polynôme $P(X+1)$ est le polynôme où l'on a remplacé l'indéterminée $X$ par $X+1$ : par exemple, si $P(X) = X^4$, $P(X+1) = (X+1)^4$.

\begin{enumerate} 
\item Développer et simplifier $P(X+1) - P(X)$ pour $P(X) = 1$, $P(X) = X$, $P(X) = X^2$, $P(X) = X^3$.
\end{enumerate}

Soient $a,b,c,d \in \R$. On pose $P(X) = a + b\,X+c\,X^2+d\,X^3 \in \R_3[X]$.

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1}
\item Montrer que : $$P(X+1) - P(X) =  (b+c+d) + (2\,c+3\,d)\,X + 3\,d\,X^2.$$ Quel est au plus le degré de $P(X+1) - P(X)$ ?
\end{enumerate}

On introduit l'ensemble $$V = \left\{ P \in \R_3[X] \ | \ P(0) = 0 \right\}.$$

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2}
\item Montrer que $V$ est un sous-espace vectoriel de $\R[X]$ et montrer que $\Vect(X,X^2,X^3) \subset V$.
\item Montrer que $P\in V$ si et seulement si $a = 0$. En déduire que la famille $(X,X^2,X^3)$ est une famille génératrice de $V$.
\item Justifier que $(X,X^2,X^3)$ est une famille libre et donner une base de $V$. Quelle est la dimension de $V$ ?
\end{enumerate}
 

On peut ainsi introduire l'application : 

$$ \begin{array}{rcl}
\Delta : V &\longrightarrow& \R_2[X] \\
     P &\longmapsto& P(X+1) - P(X)
\end{array}.$$

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{5}
\item Montrer que $\Delta$ est une application linéaire de $V$ dans $\R_2[X]$.
\end{enumerate}

\textbf{Injectivité de $\Delta$}

On souhaite montrer que $\Delta$ est injective.

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{6}
\item Justifier que $\{ 0\} \subset \ker(\Delta)$ où $0$ désigne le polynôme nul.
\item Soit $P \in \ker(\Delta)$. Montrer que $P(X+1) = P(X)$ puis que $P(0) = P(1) = P(2) = P(3)$.
\item En remarquant que $P\in V$, en déduire que $0 = P(0) = P(1) = P(2) = P(3)$.
\item Si $P$ était non nul, combien $P$ aurait-il de racines distinctes au maximum ?
\item Montrer que $\ker(\Delta) = \{ 0\}$ où $0$ désigne le polynôme nul et conclure.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Surjectivité de $\Delta$}

On souhaite montrer que $\Delta$ est surjective. On introduit les polynômes : $$ B_0 = 1, \quad B_1 = X, \quad B_2 = \frac{1}{2}\,X\,(X-1), \quad B_3 = \frac{1}{6}\, X\,(X-1)\,(X-2).$$

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{11}
\item Calculer $\Delta(B_0)$ puis montrer que pour $i = 1,2,3$, $\Delta(B_i) = B_{i-1}$.
\item Justifier que $(B_0,B_1,B_2)$ est libre puis que c'est une base de $\R_2[X]$.
\item Justifier que $\Im(\Delta) \subset \R_2[X]$.
\end{enumerate}
Soit $P(X) \in \R_2[X]$. Compte-tenu de la question précédente 13, il existe $\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2\in\R$ tels que $$ P(X) = \lambda_0\,B_0 + \lambda_1\,B_1+\lambda_2\,B_2.$$
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{15}
\item On pose $Q(X) = \lambda_0\,B_1 + \lambda_1\,B_2+\lambda_2\,B_3$. Montrer que $Q\in V$ et que $\Delta(Q) = P$.
\item En déduire que $\R_2[X] \subset \Im(\Delta)$ et conclure.
\end{enumerate}

\bigskip

Ainsi l'application $\Delta$ est un isomorphisme de $V$ sur $\R_2[X]$.

\bigskip

\textbf{Une expression de somme}

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{17}
\item Montrer qu'il existe un unique polynôme $Q(X) \in V$ tel que $\Delta(Q) = X^2$.
\item Montrer que $\displaystyle \sum_{i=0}^n i^2 = \sum_{i=0}^n \big(Q(i+1) - Q(i)\big) = Q(n+1)$
\item Déterminer l'expression de $Q(X)$ (on pourra s'aider de la question 16).
\item Déterminer une formule pour $\displaystyle \sum_{i=0}^n i^2$.
\end{enumerate}

\finenonce{}



\newpage



\pb{0}{\textbf{2 : Commutant d'un endomorphisme nilpotent} (adaptation de Centrale PSI)}

Ce problème étudie de façon théorique les endomorphismes $f$ d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie vérifiant $$f^{\dim(E)} = 0_{\mathscr L(E)} \quad \text{et}\quad f^{\dim(E)-1} \neq 0_{\mathscr L(E)}.$$ La dérivation sur $\R_{n}[X]$ est notamment un tel endomorphisme.

\bigskip

Dans tout ce problème \begin{enumerate}[(i)]
\item $E$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension finie $n\in \N^*$;
\item $\mathscr L(E)$ désigne l'ensemble des endomorphismes de $E$ (applications linéaires de $E$ dans $E$);
\item $0_{\mathscr L(E)}$ désigne l'application nulle (pour tout $x\in E$, $0_{\mathscr L(E)}(x) = 0_E$;
\item $Id_E$ désigne l'application identité de $E$ (pour tout $x \in E$, $Id_E(x) = x$).
\end{enumerate} 

\textbf{Questions préliminaires:}

\begin{enumerate}
\item Si $u$ et $v$ sont des endomorphismes de $E$, démontrer que $u \circ v$ est un endomorphisme de $E$ (c'est un résultat du cours que l'on demande de démontrer à nouveau).
\end{enumerate}

On note $u^0 = Id_E$ puis pour tout $k \in \N^*$, $u^k = u \circ u^{k-1}$.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
\item Montrer que pour tout $k \in \N$, $u^k$ est un endomorphisme de $E$ (on pourra effectuer une récurrence).
\end{enumerate}

\textbf{Un premier exemple en dimension 3 :}

On considère le $\R$-espace vectoriel $\R^3$ et l'application $$ \begin{array}{rrcl}
h :& \R^3 &\longrightarrow& \R^3 \\
     & (x,y,z) &\longmapsto& (0,x,y)
\end{array}.$$ 

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2}
\item Soit $(x,y,z) \in \R^3$. Calculer $h^2\big( (x,y,z) \big)$ et $h^3\big( (x,y,z) \big)$. Justifier que $h^3$ est l'application nulle et que $h^2$ n'est pas l'application nulle.
\item Montrer que pour tout entier $k \geq 3$, $h^k$ est l'application nulle.
\item On note $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\R^3$. En calculant $e_1,h(e_1),h^2(e_1)$, montrer que $\big(e_1,h(e_1),h^2(e_1)\big)$ est une base de $\R^3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Opérateur de décalage :}

On considère le $\R$-espace vectoriel $\R^n$ et l'application $$ \begin{array}{rrcl}
g :& \R^n &\longrightarrow& \R^n \\
     & (x_1,\dots,x_n) &\longmapsto& (0,x_1, \cdots,x_{n-1})
\end{array}.$$ 

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{5}
\item Montrer que $g^n = 0_{\mathscr L(\R^n)}$ et que $g^{n-1} \neq 0_{\mathscr L(\R^n)}$.
\item On note $(e_1,\dots,e_n)$ la base canonique de $\R^n$. Montrer que pour tout $i \in \llbracket 1,n-1 \rrbracket$ : $$ g(e_i) = e_{i+1}\quad \text{et} \quad g(e_n) = (0,\dots,0).$$
\item En déduire que pour tout $k \in \llbracket 1,n-1 \rrbracket$, $$ g^k(e_1) = e_{k+1}.$$ 
\item Conclure que $\big( e_1,g(e_1),\dots,g^{n-1}(e_1)\big)$ est une base de $\R^n$.
\item Soit $\varphi$ un isomorphisme de $E$ dans $\R^n$. On pose $f =  \varphi^{-1} \circ g \circ \varphi$. Montrer par récurrence sur $k \in \N$, que $$f^k = \varphi^{-1} \circ g^k \circ \varphi.$$
\item En déduire que $f^n = 0_{\mathscr L(E)}$ et que $f^{n-1} \neq 0_{\mathscr L(E)}$.
\end{enumerate}

\textit{On a démontré que tout endomorphisme $f$ de la forme $\varphi^{-1} \circ g \circ \varphi$ vérifie les conditions données dans l'exercice. On souhaite maintenant savoir si ce sont les seuls et on va considérer un endomorphisme $f$ quelconque de $E$.}

\smallskip

\textbf{Endomorphismes nilpotents de $E$ :}

\smallskip

On considère un endomorphisme de $E$ : $f \in \mathscr L(E)$ vérifiant : $$ f^n = 0_{\mathscr L(E)} \quad \text{et} \quad f^{n-1} \neq 0_{\mathscr L(E)}.$$

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{11}
\item Justifier qu'il existe un vecteur $a \in E$ tel que $f^{n-1}(a) \neq 0_E.$
\end{enumerate}

On pose pour $i=1,\dots,n$ : $b_i = f^{i-1}(a)$. On veut prouver que la famille $$(b_1, b_2,b_3,\dots,b_n) = \big( a,f(a),f^2(a), \dots, f^{n-1}(a)\big)$$ est une famille libre. On considère ${\lambda_1, \dots,\lambda_n\in\R}$ vérifiant : \begin{equation} \lambda_1 a + \lambda_2\, f(a) + \lambda_3\, f^2(a) + \cdots +  \lambda_n \, f^{n-1}(a) = 0_E.\label{L}\tag{L}\end{equation}
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{12}
\item Justifier rapidement que $f^{n-1}$ est un endomorphisme de $E$ et que $f^r(a) = 0_E$ pour tout entier $r \geq n$.
\item En composant l'égalité \eqref{L} par $f^{n-1}$, montrer que $\lambda_1 \, f^{n-1}(a) = 0_E$. En déduire que $\lambda_1$ est nul.
\item Montrer ensuite que $\lambda_2 = \cdots = \lambda_n=0$. Conclure que $(b_1,\dots,b_n)$ est libre.
\item Justifier que la famille précédente est alors une base de $E$.
\item Montrer que pour tout $i \in \llbracket 1,n-1 \rrbracket$ : $$ f(b_i) = b_{i+1} \quad \text{et} \quad f(b_n) = 0_E.$$
\end{enumerate}
On note à nouveau $(e_1, \dots,e_n)$ la base canonique de $\R^n$ et on considère l'unique application linéaire $\psi$ de $E$ dans $\R^n$ vérifiant pour tout $i = 1,\dots,n$ : $$\psi(b_i) = e_i.$$
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{17}
\item Pourquoi $\psi$ est-elle un isomorphisme ?
\item On reprend l'endomorphisme $g$ de la partie précédente. Montrer que $$ f= \psi^{-1} \circ g \circ \psi \quad \text{et} \quad \psi \circ f \circ \varphi^{-1} = g.$$
\end{enumerate}

\textit{Ainsi tous les endomorphisme cherchés sont de la forme $\psi^{-1} \circ g \circ \psi$.}

\bigskip

\textbf{Commutant d'un endomorphisme nilpotent :}

Soit $f \in \mathscr L(E)$ vérifiant $ f^n = 0_{\mathscr L(E)}$ et $f^{n-1} \neq 0_{\mathscr L(E)}.$ On dit qu'un endomorphisme $u$ de $E$ commute avec $f$ si $$ f \circ u = u \circ f.$$ On veut trouver une caractérisation de l'ensemble des endomorphismes de $E$ qui commutent avec $f$. On appelle cet ensemble le commutant de $f$ et on le note $\mathcal C(f).$ 

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{20}
\item Montrer que $\mathcal C(f)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathscr L(E)$.
\item Soit $u \in \mathcal C(f)$. On utilise les notations de la partie précédente. Justifier qu'il existe $\lambda_1,\dots,\lambda_n \in \R$ tels que $$u(a) = \lambda_1\,b_1 + \cdots + \lambda_n \,  b_n.$$
\item Calculer pour $k = 0,\dots,n-1$ les coordonnées de $u\big(f^k(a)\big)$ dans la base $(b_1,\dots,b_n)$. 
\item En déduire que $u = \lambda_1\,Id_E + \lambda_2\, f + \cdots + \lambda_n \, f^{n-1}$.
\item Montrer que $\mathcal C(f) = \Vect(Id_E,f,f^2,\dots,f^{n-1})$.
\item Quelle est la dimension de $\mathcal C(f)$ ?
\end{enumerate}

\textit{Dans le cas particulier de la dérivation des polynômes de $\R_n[X]$, les seules opérations linéaires qui peuvent commuter avec la dérivation sont donc des sommes de dérivations itérées.}
\finenonce{}



\end{document}

