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\begin{document}








\noindent 




















\titre{Concours blanc \hfill PCSI}

Vous laisserez une marge en haut sur la première page et sur le côté gauche de votre copie pour les annotations.

\medskip



\medskip

\textbf{Justifiez} et \textbf{rédigez} toutes vos réponses : la clarté et la précision sont prises en compte dans l'évaluation.

\medskip La calculatrice est interdite. 

\bigskip

\pb{0}{\textbf{1 : Endomorphismes de rang 1} (adapté de e3a PC 2010)}

Ce problème étudie les endomorphismes de rang 1. Les trois premières parties consistent à étudier des exemples et la partie IV est une étude théorique.

\bigskip

\textbf{Partie I : Des suites récurrentes}

\smallskip

On pose $u_0 = -3$, $v_0 = -2$, $w_0 = 1$ et on définit, par récurrence sur $n\in \N$, les suites $(u_n)_{n \in \N}$, $(v_n)_{n \in \N}$ et $(w_n)_{n \in \N}$ par : $$\left\{\begin{array}{rcl} u_{n+1}& = & -\frac{1}{4} (3 u_n - v_n + w_n) \\*[0.2em]
v_{n+1} & = & -\frac{1}{2} (u_n + w_n) \\*[0.2em]
w_{n+1} & = & \frac{1}{4} (u_n - v_n - w_n)
\end{array}\right. .$$

\begin{enumerate}[{I}.{1}.a]
\item Exprimer, pour tout $n \in \N$, $v_{n+1} + 2\,w_{n+1}$ en fonction de $v_n + 2\,w_n$.
\item En déduire, en effectuant une récurrence, que pour tout $n\in\N$, $v_n + 2\,w_n = 0$.
\item Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, $u_n + 3\,w_n = 0$.
\item Montrer ainsi que pour tout $n \in \N$, $w_{n+1} = -\frac{1}{2} w_n$. En déduire une expression de $(w_n)_{n \in \N}$ en fonction de~$n \in \N$ et sa limite.
\item En déduire également une expression de $(u_n)_{n \in \N}$ et $(v_n)_{n \in \N}$ en fonction de $n \in \N$ et leurs limites.
\end{enumerate}

On souhaite effectuer une nouvelle approche des questions précédentes.

\begin{enumerate}[{I}.{2}.a]
\item Déterminer une matrice $M \in \mathscr M_3(\R)$ telle qu'en posant $X_n = \begin{pmatrix}
u_n\\
v_n\\
w_n
\end{pmatrix}$, on ait, pour tout $n \in \N$ : $ X_{n+1} = M\,X_n$.
\end{enumerate}

On pose $$ P = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 2 \\
0 & -1 & -1
\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad D = \begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.$$

\begin{enumerate}[{I}.{2}.a] \setcounter{enumi}{1}
\item Calculer $P^{-1}$, donner l'expression, pour $n \in \N^*$, de $D^n$ et montrer que $M = P\,D\,P^{-1}$
\item Montrer, par récurrence, que pour tout $n \in \N^*$, $M^n = P\,D^n\,P^{-1}$ et $X_n = M^n X_0$.
\item Déterminer ainsi à nouveau l'expression des suites $(u_n)_{n \in \N}$, $(v_n)_{n \in \N}$ et $(w_n)_{n \in \N}$ ainsi que leurs limites.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II : Une matrice de carré nul}

\smallskip

On pose $$ A = \frac{1}{9}\begin{pmatrix}
2 & -2 & -1 \\
4 & -4 & -2 \\
-4 & 4 & 2
\end{pmatrix}.$$

\begin{enumerate}[{II}.1]
\item Calculer $A^2$ et le rang de $A$. $A$ peut-elle être inversible ? 
\item On considère $f$ l'endomorphisme canoniquement associé à $A$. Justifier que pour tous $(x,y,z) \in \R^3$, $$ f\big((x,y,z)\big) = \left(\frac{2\,x-2\,y-z}{9},\frac{4\,x-4\,y-2\,z}{9} , \frac{-4\,x+4\,y+2\,z}{9}\right).$$ Que vaut $f \circ f$ ?
\end{enumerate}

On définit les vecteurs de $\R^3$ : $ e_1 = \frac{1}{3}(1,2,-2)$, $e_2 = \frac{1}{3}(2,1,2)$ et $e_3 = \frac{1}{3}(2,-2,-1)$.

\begin{enumerate}[{II}.1] \setcounter{enumi}{2}
\item Calculer $f(e_1)$, $f(e_2)$ et $f(e_3)$ (on exprimera $f(e_3)$ en fonction de $e_1$).
\item Montrer que $\mathscr B = (e_1,e_2,e_3)$ est une base de $\R^3$.


\item Déterminer l'expression de la matrice de $f$ dans la base $\mathscr B$ notée $\mathscr {M}\!at_{\mathscr B, \mathscr B}(f)$.
\item Calculer le rang et la dimension du noyau de $f$.
\item On considère l'application : $$ \begin{array}{rrcl}
\varphi : &\R^3 &\longrightarrow& \R \\
     &(x,y,z) &\longmapsto& 2\,x-2\,y-z
\end{array}.$$

Montrer que $\varphi$ est une application linéaire et déterminer un vecteur $a \in \R^3$ tel que pour tout $(x,y,z) \in \R^3$, $$f\big((x,y,z)\big) = \varphi\big((x,y,z)\big)\,a.$$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III : Matrice d'un endomorphisme de rang 1}

\smallskip

On rappelle que $\R$ est le $\R$-espace vectoriel $\R^1$. On considère l'application linéaire : $$ \begin{array}{rrcl}
\varphi : &\R^3 &\longrightarrow& \R \\
     &(x,y,z) &\longmapsto& x+y+2\,z
\end{array}$$ et on pose, pour $(x,y,z)\in\R^3$, $f\big((x,y,z)\big) = \varphi\big((x,y,z)\big)\,(0,0,1)$.

\smallskip

\begin{enumerate}[{III}.1] \setcounter{enumi}{0}
\item Quelle est la dimension de $\R$ ? De quel espace vectoriel $\Im(\varphi)$ est-il un sous-espace vectoriel ? En déduire que $\dim\big( \Im(\varphi)\big) = 0$ ou $1$.
\item Montrer que $ \varphi\big((0,0,1)\big) \neq (0,0,0)$. En déduire que $\dim\big( \Im(\varphi)\big) = 1$, $\Im(\varphi) = \R$ et $\dim\big(\ker(\varphi) \big) = 2$.
\item On considère $\mathscr B = \big((1,-1,0),(1,0,-1),(0,0,1)\big)$. Montrer que $\mathscr B$ est une base de $\R^3$.
\item \'Ecrire la matrice de $f$ dans la base $\mathscr B$ et donner le rang de $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie IV : \'Etude théorique }

\smallskip

Soit $n \in \N$, $n \geq 2$ et $a \neq 0$ un vecteur de $\R^n$. On considère une application linéaire \textbf{non nulle} $\varphi$ de $\R^n$ dans~$\R$ et on pose, pour $x\in\R^n$ : $$f(x) = \varphi(x)\,a.$$ Pour le IV.1, on pourra s'aider de l'exemple de la partie III.

\begin{enumerate}[{IV}.{1}.a]
\item Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\R^n$.
\item Montrer que pour tout $x \in \R^n$, $f(x) =0$ si et seulement si $\varphi(x) = 0$. En déduire que $\ker(f) = \ker(\varphi)$.
\item Montrer que $\Im(\varphi) = \R$ et déterminer, en fonction de $n$, la dimension de $\ker(\varphi)$ et de $\ker(f)$ puis le rang de $f$.
\end{enumerate}

On suppose dans IV.2 que $ \varphi(a) \neq 0$. On considère $e_1, \dots,e_{n-1}$ une base de $\ker(\varphi)$ et on pose $e_n = a$. On souhaite montrer que $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $\R^n$. Soient $\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\R$ tels que $$ \lambda_1\,e_1+\cdots+\lambda_n\,e_n = 0_{\R^n}.$$

\begin{enumerate}[{IV}.{2}.a]
\item Montrer, en composant l'égalité précédente par $\varphi$, que $\lambda_n\,\varphi(a)=0$ et en déduire que $\lambda_n = 0$.
\item Montrer également que $\lambda_1 = \cdots = \lambda_{n-1} =0$.
\item En déduire que $\mathscr B = (e_1,\dots,e_n)$ est une base de $\R^n$ et que la matrice dans la base $\mathscr B$ de $f$ est de la forme $$ \mathscr {M}\!at_{\mathscr B, \mathscr B}(f) = \begin{array}{c} 
   \begin{pmatrix} 
       0      & \cdots &  0     & 0  \\
       \vdots  &       & \vdots & \vdots\\
         0    & \cdots & 0      & 0   \\
       0      & \cdots & 0      & \varphi(a)
   \end{pmatrix}  
\end{array}.$$ 
\end{enumerate}

On suppose dans IV.3 que $\varphi(a) = 0$.

\begin{enumerate}[{IV}.{3}.a]
\item Montrer que $f \circ f = 0_{\mathscr L(\R^n)}$, l'application nulle de $\R^n$ dans $\R^n$.
\item Montrer qu'il existe $e_2,\dots,e_n$ vérifiant $f(e_n) \neq 0_{\R^n}$ et $\big(f(e_n),e_2,\dots,e_{n-1}\big)$ est une base de $\ker(f)$. 
\item Montrer que $\big(f(e_n),e_2,\dots,e_{n-1},e_n\big)$ est une base de $\R^n$ et écrire la matrice de $f$ dans cette base.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}[{IV}.{4}.a]
\item On considère un endomorphisme $f$ de $\R^n$ de rang 1. Montrer qu'il existe une application linéaire $\varphi$ de~$\R^n$ dans~$\R$ et un vecteur $a \in \R^n$ tel que pour tout $x \in \R^n$, $f(x) = \varphi(x)\,a$.
\item Quelles sont les différentes formes possibles de la matrice d'un endomorphisme de rang 1 ?
\end{enumerate}

\pb{0}{\textbf{2 : Fonction polylogarithme} (extrait des Petites Mines 2010)}

Le but du problème est d'étudier quelques propriétés de la fonction polylogarithme, utile en mécanique quantique, définie par : $$ L(x) = \int_0^x \frac{\ln(1+t)}{t} \dt.$$

\bigskip

\textbf{Partie I : \'Etude de la fonction intégrée}

\smallskip

On considère la fonction $f$ donnée par $$ f(x) = \ln(1+x).$$

\begin{enumerate}[{I}.1]
\item Justifier que $f$ est définie et de classe $\mathscr C^\infty$ sur $]-1,+\infty[$.
\item Déterminer les expressions de $f'$, $f''$ et $f'''$ et calculer $f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$ et $f'''(0)$.
\item Donner un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre 3 (on pourra utiliser la formule de Taylor-Young ou donner directement le résultat du cours).
\end{enumerate}

On considère désormais la fonction $\ell$ donnée par $$ \ell(x) = \displaystyle \frac{\ln(1+x)}{x}.$$

\begin{enumerate}[{I}.1] \setcounter{enumi}{3}
\item Justifier que $\ell$ est dérivable $]-1,+\infty[ \setminus \{0\}$ et montrer que pour tout $x \in ]-1,+\infty[ \setminus \{0\}$ : $$\ell'(x) = \frac{h(x)}{x^2\,(1+x)}$$ où $ h(x) = x - (1+x)\ln(1+x).$
\item En dressant le tableau des variations de $h$ pour en déterminer son signe, montrer que $\ell'$ est négative sur~${]-1,+\infty[ \setminus \{0\}}$.
\item Déterminer les limites de $\ell$ en $-1$ et en $+\infty$.
\item \`A l'aide de la question I.3, montrer que $\ell$ admet le développement limité en $0$ : $$\ell(x) =  1-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + \displaystyle \underset{ { x \rightarrow 0 } {} } {o}\left( x^2\right).$$
\item Quelle est la limite de $\ell$ en $0$ ? Justifier que $\ell$ admet un prolongement par continuité sur $]-1,+\infty[$ que l'on notera à nouveau $\ell$ (on donnera la valeur de $\ell(0)$).
\item Montrer que $\ell$ est dérivable en $0$ et déterminer $\ell'(0)$. Conclure que $\ell'$ est négative sur $]-1,+\infty[$.
\item Déterminer la position relative de la courbe de $\ell$ par rapport à sa tangente en $0$ au voisinage de $0$.
\item Dresser à l'aide des questions précédentes le tableau des variations de $\ell$ sur $]-1,+\infty[$.
\item Montrer que $\ell$ est de classe $\mathscr C^1$ sur $]-1,+\infty[$ (pour calculer la limite de $\ell'$ en $0$, on pourra se servir des développements limités calculés précédemment).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II : Une expression de $L(1)$}

\smallskip

Soit $n\in\N^*$. On rappelle que $L(x)$ est posé au début du problème.

\begin{enumerate}[{II}.1]
\item \`A l'aide de la question I.8, justifier que $L(1)$ est bien défini.
\item Justifier que pour tout réel $t$ différent de $-1$ : $$ 1-t+t^2 + \cdots + (-t)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} (-t)^k = \frac{1-(-t)^n}{1+t}.$$
\item En déduire, en écrivant $\displaystyle \frac{1-(-t)^n}{1+t} = \frac{1}{1+t} - \frac{(-1)^n \, t^n}{1+t}$, que pour tout $x \in [0,1]$ : $$ \int_0^x \, \sum_{k=0}^{n-1} (-t)^k \dt = \ln(1+x)  - (-1)^n \int_0^x \frac{t^n}{1+t} \dt.$$
\item Justifier que pour tout $x \in [0,1]$ : $$\int_0^x \, \sum_{k=0}^{n-1} (-t)^k \dt = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k\,\int_0^x t^k \dt= \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k\frac{x^{k+1}}{k+1}.$$
\item En reprenant la notation $\ell$ de la partie I, montrer, avec II.3 et II.4, que pour tout $x \in ]0,1]$, $$ \ell(x) - \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k\frac{x^{k}}{k+1} = \frac{(-1)^n}{x} \int_0^x \frac{t^n}{1+t} \dt.$$
\item En justifiant que pour tout $t \in \R^+$, $\displaystyle \left|\frac{t^n}{1+t}\right| \leq t^n$, montrer que pour tout $x \in ]0,1]$ : $$\left|\frac{(-1)^n}{x} \int_0^x \frac{t^n}{1+t} \dt \right| \leq \frac{x^n}{n+1}.$$
\item En déduire que pour tout $x\in[0,1]$ : $$ \left|\ell(x) - \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k\frac{x^{k}}{k+1}\right| \leq \frac{x^n}{n+1}$$ puis que $$ \left|\int_0^1\ell(x) \dx - \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k\int_0^1\frac{x^{k}}{k+1} \dx \right| \leq \int_0^1\frac{x^n}{n+1}\dx.$$ 
\item Montrer ainsi que : $$ \left|L(1) - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{(k+1)^2} \right| \leq \frac{1}{(n+1)^2}.$$
\item Conclure que $L(1) = \lim \limits_{n \to \infty} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k\frac{1}{(k+1)^2}$ et $$L(1) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^2}.$$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III : Dérivées successives de $L$}

\smallskip

\begin{enumerate}[{III}.1] \item \`A l'aide de I.8, justifier que $L$ est définie et dérivable sur $\R^+$. Quelle est la dérivée de $L$ ? Que vaut $L(0)$ ?
\item Justifier que $\ell$ est de classe $\mathscr C^\infty$ sur $\R^{+,*}$. En déduire que $L$ est de classe $\mathscr C^\infty$ sur $\R^{+,*}$ et donner une relation entre les dérivées successives de $L$ et de $\ell$. 
\end{enumerate}

On souhaite démontrer par récurrence, pour tout $n \in \N^*$, la propriété $\mathcal P(n)$ suivante : il existe un polynôme à coefficients réels $T_n \in \R[X]$ et un réel $a_n$ tels que pour tout $x \in \R^{+,*}$ : $$\ell^{(n)}(x) = \frac{T_n(x)}{(1+x)^n\,x^n} + a_n\,\frac{\ln(1+x)}{x^{n+1}}.$$

\begin{enumerate}[{III}.1] \setcounter{enumi}{2}
\item Montrer que la propriété est vraie pour $n=1$ (on pourra revoir I.4). Que valent $T_1$ et $a_1$ ?
\item Soit $n \in \N^*$. On suppose que $\mathcal P(n)$ est vraie. Montrer que pour tout $x \in \R^{+,*}$ $$\ell^{(n+1)}(x) = \frac{T'_n(x)(1+x)\,x - T_n(x)(2\,n\,x+n) + a_n(1+x)^n}{(1+x)^{n+1}\,x^{n+1}} - (n+1)\,a_n\,\frac{\ln(1+x)}{x^{n+2}}.$$
\item Conclure la récurrence en donnant, pour tout $n \in \N^*$, une relation entre $T_{n+1}$, $T_n$, $T'_n$ et $a_n$ et entre $a_n$ et~$a_{n+1}$. Donner ainsi une expression simple de $a_n$.
\item Montrer que $T_n$ est à coefficients entiers.
\end{enumerate}

\end{document}

