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\begin{document}




















\titre{Concours blanc \hfill PCSI}

Vous laisserez une marge en haut sur la première page et sur le côté gauche de votre copie pour les annotations.

\medskip

\textbf{Justifiez} et \textbf{rédigez} toutes vos réponses : la clarté et la précision sont prises en compte dans l'évaluation.

\medskip La calculatrice est interdite. 

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\noindent 




\pb{0}{\textbf{1 : Racines de matrices} (adapté de CCP PC 2010)}

Le but du problème est de déterminer, pour certaines matrices $A$, l'ensemble de toutes les matrices $M$ vérifiant~$M^2 = A$. Les parties I et II étudient deux exemples particuliers. La partie III étudie un exemple sous un angle théorique et une interprétation en termes d'endomorphismes. La partie IV établit des résultats théoriques.

\bigskip

\textbf{Partie I : Un exemple en dimension 2}

\smallskip

On pose $A = \begin{pmatrix}
-1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}$ et on considère une matrice $M = \begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix}$, où $a,b,c,d\in\R$, vérifiant $M^2 = A.$

\begin{enumerate}[{I}.1]
\item Montrer que $$\left\{\begin{array}{rcl} a^2+b\,c& = & -1 \\
d^2+bc & = & -1 \\
b\,(a+d) & = & 0 \\
c\,(a+d) & = & 0 \\
\end{array}\right. .$$
\item Montrer que les cas $b =0$ ou $c=0$ sont impossibles. On suppose donc que $b,c\neq0$ dans la suite.
\item En déduire que $$M = \begin{pmatrix}
a&b\\\frac{-1-a^2}{b}& -a
\end{pmatrix}.$$
\item Combien l'équation d'inconnue $M\in \mathscr M_2(\R)$ : $M^2 = A$ a-t-elle de solutions ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II : Un exemple en dimension 3}

\smallskip

On considère les matrices $A = \begin{pmatrix}
8&4&-7\\
-8&-4&8\\
0&0&1
\end{pmatrix}$ et $P = \begin{pmatrix}
-1&-1&1\\
0&0&1\\
2&1&-2
\end{pmatrix}$ et on considère à nouveau une matrice $M\in\mathscr M_3(\R)$ vérifiant $M^2 = A$.

\begin{enumerate}[{II}.1]
\item Calculer $P^{-1}$ et montrer que $P\,A\,P^{-1} = D$ où $D=\left( \begin{smallmatrix} 
  0 & 0&0\\
  0 & 1&0\\
  0&0&4 
\end{smallmatrix} \right)$.
\item On pose $H = P\,M\,P^{-1}$. Montrer que $M = P^{-1}H\,P$, $H^2 = P\,M^2\,P^{-1}$ puis que $H^2 = D$.
\item Montrer que $HD=DH$.
\item Montrer que $H$ est nécessairement diagonale (\textit{Indication : on écrira $H$ sous forme de coefficients à déterminer puis on écrira les 9 équations résultant de l'égalité $HD=DH$.})
\item Avec la question précédente et en écrivant que $H^2 = D$, montrer qu'il n'existe que 4 solutions pour $H$.
\item Conclure, avec II.2, que $M$ est l'une des matrices suivantes : $$\pm\begin{pmatrix}
4&2&-3\\
-4&-2&4\\
0&0&1
\end{pmatrix}, \quad \pm\begin{pmatrix}
4&2&-5\\
-4&-2&4\\
0&0&-1
\end{pmatrix}.$$
\item Combien l'équation d'inconnue $M\in \mathscr M_3(\R)$ : $M^2 = A$ a-t-elle de solutions ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III : Un exemple en termes d'endomorphismes}

\smallskip
On considère les matrices
$A = \begin{pmatrix}
2&1&1\\
1&2&1\\
1&1&2
\end{pmatrix}$ et $J = \begin{pmatrix}
1&1&1\\
1&1&1\\
1&1&1
\end{pmatrix}$ et on notera $f$ et $j$ les endomorphismes canoniquement associés respectivement aux matrices $A$ et $J$.

\begin{enumerate}[{III}.1]
\item Exprimer, en fonction de $J$, $J^m$ pour tout $m \in \N^*$ (on pourra effectuer une récurrence).
\item \`A l'aide de la formule du binôme et de $A = I_3+J$, exprimer, pour $m\in\N^*$, $A^m$ en fonction de~$I_3$ et $J$.
\item En déduire que, pour tout $m\in\N^*$, $$f^m = Id_{\R^3} + \frac{1}{3}(4^m-1)\,j$$ où $Id_{\R^3}$ désigne l'application identité de $\R^3$. Cette formule est-elle valable pour $m=0$ ?
\item On pose $p = \frac{1}{3}\,j$ et $q=Id_{\R^3}-p$. Exprimer, en fonction de $p$ et $q$, $p^2$ et $q^2$.
\item En déduire que $\R^3 = \ker(p) \oplus \ker(q)$.
\item Justifier que $p$ est de rang 1 et donner la dimension du noyau de $p$.
\item Montrer qu'il existe $e_1,e_2 \in \ker(p)$ et $e_3 \in \ker(q)$ tels que $\mathscr B = (e_1,e_2,e_3)$ est une base de $\R^3$.
\item Montrer que pour tout $m\in\N$, $f^m = q + 4^m p$.
\item Calculer $p(e_i)$ et $q(e_i)$ pour $i=1,2,3$ puis exprimer la matrice de $f$ dans la base $\mathscr B$ notée $\mathscr {M}\!at_{\mathscr B, \mathscr B}(f)$.
\item Construire un endomorphisme $h \in \mathscr L(\R^3)$ tel que $h^2 = f$. On exprimera $h$ en fonction de $p$ et $q$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie IV : Un résultat général}

\smallskip

Soient $n\in\N$, $n\geq2$, $\lambda \neq \mu$ deux réels et $f$ un endomorphisme de $\R^n$. On suppose qu'il existe deux endomorphismes \textbf{non nuls} de $\R^n$ $p$ et $q$ vérifiant les trois égalités $$ p + q = Id_{\R^n}, \quad \lambda \, p + \mu\,q = f, \quad \text{et} \quad \lambda^2 \, p + \mu^2\,q = f^2$$ où $Id_{\R^n}$ désigne l'application identité de $\R^n$.

\smallskip

\begin{enumerate}[{IV}.1] \setcounter{enumi}{0}
\item En utilisant les trois relations de l'énoncé et en développant, montrer que $$(f-\lambda\,Id_{\R^n})\circ (f-\mu\,Id_{\R^n}) = 0_{\mathscr L(\R^n)},$$ l'application nulle de $\R^n$.
\item Exprimer $(f-\lambda\,Id_{\R^n})$ en fonction de $q$, $\lambda$ et $\mu$ et $(f-\mu\,Id_{\R^n})$ en fonction de $p$, $\lambda$ et $\mu$.
\item Déduire des deux questions précédentes que $q \circ p = 0_{\mathscr L(\R^n)}$ et que $p \circ q = 0_{\mathscr L(\R^n)}$.
\item En utilisant que $p + q = Id_{\R^n}$ et la question précédente, montrer que $p^2 = p$ et $q^2 = q$.
\item On considère $(e_1,\dots,e_r)$ une base de $\ker(p)$ et $(f_1,\dots,f_s)$ une base de $\ker(q)$. Justifier que la famille de vecteurs $\mathscr B = (e_1,\dots,e_r,f_1,\dots,f_s)$ est une base de $\R^n$. Que vaut $r+s$ ?
\item Montrer que la matrice de $f$ dans la base $\mathscr B$ est diagonale de la forme : $$ \mathscr {M}\!at_{\mathscr B, \mathscr B}(f) = \begin{array}{c} 
   \begin{pmatrix} 
       \mu      & &       &      &  &  \\
        &    \ddots    &  &  &        &  \\
             &  & \mu      &       &  &  \\
     & &       &     \lambda  &  &  \\
        &        &  &  &     \ddots   &  \\
             &  &      &       &  & \lambda \\
   \end{pmatrix} 
\vspace{-0.35cm} \\ 
 \hspace{0.1cm}\underbrace{\rule{15mm}{0pt}}_{\text{$r$ colonnes}} \hspace{0.2cm} \underbrace{\rule{15mm}{0pt}}_{\text{$n-r$ colonnes}}  
\end{array}.$$ 
\end{enumerate}

On pose $F = \Vect(p,q)$ (c'est un sous-espace vectoriel de $\mathscr L(\R^n)$). On souhaite déterminer tous les éléments~$h\in F$ qui vérifient $h^2 = f$.

\begin{enumerate}[{IV}.1] \setcounter{enumi}{6}
\item Quelle est la dimension de $F$ ?
\item Montrer que, si $h \in F$, il existe $\alpha,\beta\in\R$ tels que $h^2 = \alpha^2\,p + \beta^2\,q$ (utiliser IV.3).
\item En déduire que si $\lambda$ ou $\mu$ est strictement négative, il n'existe aucun élément de $h\in F$ vérifiant $h^2 = f$.
\item Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur $\lambda$ et $\mu$ pour qu'il existe des endomorphismes~${h\in F}$ vérifiant $h^2 = f$ et, dans ce cas, donner leur nombre.
\item Si $n\geq3$, montrer qu'il existe un endomorphisme  $h\notin F$ vérifiant $h^2 = f$.
\end{enumerate}

\pb{0}{\textbf{2 : Inégalité de Berstein} (adapté de Centrale PC 2010)}

Le but du problème est de montrer une inégalité sur certains types de fonctions modélisant la propagation des ondes. On étudie d'abord en partie I certains polynômes dont les racines serviront en partie II à étudier quelques propriétés de ces fonctions. La partie III permet de démontrer finalement l'inégalité.

\bigskip

\textbf{Partie I : Polynômes de Tchebychev }

\smallskip

On définit, pour $n \in \N$, la fonction $T_n(t) = \cos\big(n\arccos (t)\big)$.
\begin{enumerate}[{I}.1]
\item Justifier que $T_n$ est définie sur $[-1,1]$ et rappeler la simplification de $\cos\big(\arccos (x)\big)$ pour $x \in [-1,1]$. 
\item Donner l'expression de $T_0$ et $T_1$ et montrer que pour tout $t \in [-1,1]$, $T_2(t) = 2\,t^2-1$.
\item Calculer $T_n(0)$, $T_n(1)$ et $T_n(-1)$ pour tout $n \in \N$.
\item Rappeler l'ensemble de dérivabilité et la dérivée de la fonction $\arccos$.
\item Soit $n \in \N$. En déduire que pour tout $t \in ]-1,1[$ : $$ T'_n(t) = \dfrac{n\sin\left(n\arccos
(t)\right)}{\sqrt{1-t^2}}.$$ Calculer également $T''_n$ sur $]-1,1[$.
\item En faisant le changement de variable $t = \cos x$, montrer que  $\arccos(t) \underset{ { t \rightarrow 1^- } {} } {\sim} \sqrt{2(1-t)}$. 
\item En déduire que $T_n$ est dérivable en $1$ et la valeur de $T'_n(1)$.
\item Avec les questions précédentes, montrer que pour tout $n \in \N$ et pour tout $t \in ]-1,1[$ : $$ (1-t^2)\,T''_n(t) -t\,T'_n(t) + n^2\,T_n(t) = 0.$$
\item Montrer, pour tout $n \in \N$, que $T_n$ est une fonction polynomiale (on exprimera, avec la question précédente,~$T_n$ en fonction de ses dérivées et on effectuera une récurrence forte sur $n \in \N^*$).
\item Déterminer,  pour tout $n \in \N$, le degré de $T_n$.
\item Montrer que pour tout $n \in \N$ et pour tout $x \in [0,\pi]$, $$ T_n(\cos x) = \cos(n\,x).$$
\item Pour $n \in \N$, quels sont les réels $x \in [0,\pi]$ vérifiant $\cos(n\,x) = 0$ ?
\item En déduire, pour $n \in \N^*$, la factorisation de $T_n$ : pour tout $t \in [-1,1]$, $$ T_n(t) = a_n \, \prod_{k=0}^{n-1} \left(t- \cos \frac{(2k+1)\pi}{2\,n}\right)$$ (on ne demande pas la valeur de $a_n$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II : Polynômes trigonométriques}

\smallskip

On appelle polynôme trigonométrique de degré $n\in \N^*$ une fonction de la forme $$\varphi : x \mapsto a_0 + \sum_{k=1}^n \big(a_k\,\sin(k\,x) + b_k \, \cos(k\,x)\big)$$ où $a_0$, $a_k$, $b_k$ sont des réels, $k \in \llbracket 1,n\rrbracket$. On considère un polynôme trigonométrique $\varphi$ de la forme précédente.

\begin{enumerate}[{II}.1] \setcounter{enumi}{0}
\item Montrer $\varphi$ est $2\pi$-périodique et de classe $\mathscr C^\infty$ sur $\R$.
\item Justifier que $|\varphi|$ et $|\varphi'|$ atteignent leur maximum sur $[0,2\pi[$.
\item Montrer que pour tout $x\in\R$ : $$ \varphi(x) = a_0 + \frac{1}{2i}\sum_{k=1}^n (a_k + i\,b_k)\,e^{i\,k\,x} - \frac{1}{2i}\sum_{k=1}^n (a_k - i\,b_k)\,e^{-i\,k\,x}.$$
\item En déduire qu'il existe des nombres complexes $c_{-n}, \dots,c_0,\dots,c_{n}$ vérifiant pour tout $x\in\R$ : $$ \varphi(x) = \sum_{k=-n}^n c_k\,e^{i\,k\,x}$$ qu'on exprimera, en distinguant les cas, en fonction de $a_k$ et $b_k$.
\item En déduire qu'il existe un polynôme $P\in\C[X]$ tel que que pour tout $x\in\R$, $\varphi(x) = e^{-i\,n\,x}\,P(e^{i\,x})$ où $$P(X) = \sum_{k=0}^{2\,n} c_{k-n} X^{k}.$$ Combien $P$ possède-t-il au plus de racines complexes distinctes ?
\item Montrer que si $\varphi$ s'annule au moins $2\,n+1$ fois dans $[0,2\pi[$ alors $\varphi$ est nulle sur $\R$.
\item Montrer que l'ensemble des polynômes trigonométriques de degré $n$ est un espace vectoriel dont on donnera la dimension.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III : Inégalité de Bernstein}

\smallskip

Soit $n \in \N^*$. On considère à nouveau un polynôme trigonométrique $\varphi$ de degré $n$ non nul et on suppose (les existences étant justifiées par la question II.2) que : $$ \sup_{x \in \R} |\varphi(x)| = 1 \quad \text{et} \quad \sup_{x \in \R} |\varphi'(x)| = \varphi'(0).$$ On souhaite montrer que $\varphi'(0) \leq n$ et on va raisonner par l'absurde en supposant que $$\varphi'(0) > n.$$ 

\smallskip

On considère la fonction $$\displaystyle S : x \mapsto \frac{\varphi'(0)}{n}\,\sin(n\,x) - \varphi(x)$$ et on note, en relation avec la partie I, pour $k\in\Z$ : $ \displaystyle x_k = \frac{(2k+1)\pi}{2\,n}.$

\begin{enumerate}[{III}.1] \setcounter{enumi}{0}
\item Justifier que $S$, $S'$ et $S''$ sont des polynômes trigonométriques de degré $n$.
\item Montrer que pour $k \in \Z$ : $$S(x_k) = \frac{(-1)^k}{n}\big( \varphi'(0) - (-1)^k n \,\varphi(x_k)\big).$$ 
\item Montrer que pour tout $x\in\R$, $\varphi'(0) - (-1)^k n \,\varphi(x) > 0$.
\item En déduire, pour $k \in \Z$, le signe de $S(x_k)$ et montrer que pour tout~$k \in \Z$, il existe~$y_k \in ]x_k,x_{k+1}[$ tel que $$S(y_k) = 0.$$
\item Justifier que $y_1, \dots,y_{2\,n-1} \in [0,2\pi[$ et que $y_0$ ou $y_0 + 2\pi$ est dans $[0,2\pi[$. En déduire que $S$ s'annule au moins $2\,n$ fois sur $[0,2\pi[$.
\item En déduire, en citant précisément le théorème, que $S'$ s'annule au moins $2n-1$ fois sur $]0,2\pi[$.
\item Calculer $S'(0)$ et $S'(2\pi)$ et montrer que $S'$ s'annule au moins $2\,n+1$ fois sur $[0,2\pi]$.
\item Montrer que $S''$ s'annule au moins $2n+1$ fois sur $[0,2\pi[$ (on calculera $S''(0)$). En déduire, à l'aide de II.6, que $\varphi'(0) \leq n$.
\item Montrer, de façon générale, l'inégalité de Bernstein : pour tout polynôme trigonométrique $f$ $$\sup_{x \in \R} |f'(x)| \leq n\, \sup_{x \in \R} |f(x)|.$$
\item Donner une fonction pour laquelle cette inégalité est une égalité.
\end{enumerate}

\end{document}

\end{document}

